Question

【題目】如圖，邊長為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長度的最小值是（ ）

A. a
B.a
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等邊△ABC的對稱軸，

∴HB= AB，

∴HB=BG，

又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，

此時(shí)∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×2a=a，

∴MG= CG= ×a= ，

∴HN= ，

所以答案是：D．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即可以解答此題．