【題目】如圖,拋物線yax2+x+cx軸交于AB兩點,A點坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點C,點C坐標(biāo)為(0.﹣6),連接BC,點C關(guān)于x軸的對稱點D,點Px軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0),過點Px軸的垂線l交拋物線于點Q,交直線BD于點M

(1)求二次函數(shù)解析式;

(2)點Px軸上運(yùn)動,若﹣6≤m≤2時,求線段MQ長度的最大值.

(3)點Px軸上運(yùn)動時,N為平面內(nèi)一點,使得點BC、M、N為頂點的四邊形為菱形?如果存在,請直接寫出點N坐標(biāo);不存在,說明理由.

【答案】(1)yx2+x﹣6;(2)MQ的最大值為16;(3)N坐標(biāo)為(﹣,﹣)或(﹣2,0)或(7.2﹣3.6)或(2,﹣12).理由見解析.

【解析】

(1)把A點坐標(biāo)為(-3,0)、點C坐標(biāo)為(0,-6)代入二次函數(shù)表達(dá)式,解得:a=1,c=-6,故:二次函數(shù)解析式為y=x2+x-6;

(2)點C關(guān)于x軸的對稱點D(0,6),MQ=yM-yQ=-3m+6-(m2+m-6)=-(m+2)2+16,即可求解;

(3)①當(dāng)BC邊為菱形的邊時,N點應(yīng)該在x軸,關(guān)于B點對稱,即點N坐標(biāo)為(-2,0);②當(dāng)BC邊為菱形的對角線時,作BC的垂直平分線MH,直線BD與直線MH交點即為M坐標(biāo)為,即可求解.

(1)把A點坐標(biāo)為(﹣3,0)、點C坐標(biāo)為(0,﹣6)代入二次函數(shù)表達(dá)式,

解得:a=1,c=﹣6,

故:二次函數(shù)解析式為yx2+x﹣6;

(2)點C關(guān)于x軸的對稱點D(0,6),

BD坐標(biāo)所在的直線方程為:y=﹣3x+6,

則:點M坐標(biāo)為(m,﹣3m+6),點Q為(m,m2+m﹣6),

MQyMyQ=﹣3m+6﹣(m2+m﹣6)=﹣(m+2)2+16,

在﹣6≤m≤2時,函數(shù)頂點處,取得最大值,

MQ的最大值為16;

(3)①當(dāng)BC邊為菱形的邊時,

情況一N點應(yīng)該在x軸,關(guān)于B點對稱,即點N坐標(biāo)為(﹣2,0),

情況二:BC、MB是菱形兩條鄰邊,且BCBM,則點N坐標(biāo)為(2,﹣12),

情況三:BC、CM為鄰邊時,則點N坐標(biāo)為(7.2﹣3.6);

②當(dāng)BC邊為菱形的對角線時,作BC的垂直平分線MH,

則直線DBMH的交點為M,M關(guān)于BC的對稱點為N,HBC的中點,

H坐標(biāo)為(1,﹣3),

直線BD的方程為:y=﹣3x+6,直線MH的方程為:y=-x-,

聯(lián)立以上兩個方程,解得:M坐標(biāo)為(,﹣),

同理得N坐標(biāo)為(﹣,﹣),

故:N坐標(biāo)為(﹣,﹣)或(﹣2,0)或(7.2﹣3.6)或(2,﹣12).

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4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0t≤3)時,△AOE△ABE重疊部分的面積為s,求st之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍.

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