Question

【題目】如圖，已知拋物線 與 軸交于A、C兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)B，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ABQ成為等腰三角形，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是____.

Answer 1

【答案】Q1，Q2，Q3（2，2），Q4（2，3）

【解析】

先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)式知拋物線的對稱軸為直線x=2，設(shè)拋物線的對稱軸上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，分別求得，并用含的代數(shù)式表示的長，分三種情況構(gòu)造方程求得的值.

如圖，

拋物線的對稱軸為直線x=2

當(dāng)y=0時，

（x-2）2-1=0

解之：x1=3，x2=1

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）

當(dāng)x=0時，y=3

∴點(diǎn)B（0，3）

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，m）.

∴AB2=32+1=10，BQ2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ2=m2+1，

要使△ABQ為等腰三角形，

當(dāng)AB2=BQ2時，則（m-3）2+4=10,

解之：m1= ， m2= ，

∴點(diǎn)Q1 ， Q2.

當(dāng)BQ2=AQ2時，則（m-3）2+4=m2+1,

解之：m=2

所以點(diǎn)Q2（2，2）；

當(dāng)AB2=AQ2時，則10=m2+1,

解之：m=±3

若m=-3，則點(diǎn)B、A，Q在同一直線上，

∴m=-3舍去，

∴點(diǎn)Q4（2，3）

故答案為：，Q2，（2，2），（2，3）