Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求出直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在圖1中，平移線段，恰好可以使得點(diǎn)落在直線上，并且點(diǎn)落在拋物線上，點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)（點(diǎn)在第四象限）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得面積與面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（點(diǎn)在第一象限）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P的坐標(biāo)為（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．.

【解析】

（1）將點(diǎn)B（-2，-5）代入直線y=x+m即可求出直線解析式，將A（n，0）代入直線解析式y=x-3即可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，將A，B代入拋物線y=-x2+bx+c即可求出拋物線解析式；
（2）先根據(jù)直線AB的解析式設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)可知xA-xC=xM-xN，yC-yA=yN-yM，將C，A，N三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出含字母的點(diǎn)M的坐標(biāo)，將M的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出M的具體值；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在MC上方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作CM的平行線交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)E，求出AE的解析式，再求出其與拋物線交點(diǎn)即可，當(dāng)點(diǎn)P在MC下方的拋物線上時(shí)，先找出點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)O，然后按照相同的方法即可求出點(diǎn)P．

（1）將代入，

得，

∴，

把代入，

得，

∴，

∴，

將，代入，

得，

解得：，，

∴；

（2）∵在中，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵點(diǎn)在直線上，

∴設(shè)，

如圖1，由平移的性質(zhì)知，四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵，，，

∴，

將代入，

得，

解得：（舍去），，

∴；

（3）①當(dāng)如圖2-1，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)的面積與的面積相等，

將，代入，

得，

解得：，，

∴，

∵，

∴設(shè)，

將點(diǎn)代入，

得，

∴，

聯(lián)立與，

得，

解得：，，

∴.

②當(dāng)點(diǎn)P在AC下方的拋物線上時(shí)，
在yAE=-2x+6中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴E（0，6），
則點(diǎn)E與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)O作CM的平行線l，
則yl=-2x，
聯(lián)立y=-x2+2x+3與yl=-2x，
得-x2+2x+3=-2x，
解得x1=2+，x2=2-，
∴P（2+，-4-2）或（2-，2-4），

綜上所述，P的坐標(biāo)為（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．