Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C，給出如下定義：

如果矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形．例如，下圖中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形，其中矩形AB3C3D3是點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．

①當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為 ；

②若點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40，求直線AC的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)D（1，1）．E（m，n）是函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，⊙P是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓，求出⊙P的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）35， ；（2）.

【解析】

（1）①由矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形，得出最優(yōu)覆蓋矩形的長為：2+5=7，寬為3+2=5，即可得出結(jié)果；

②由定義可知，t=-3或6，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3，-2）或（6，-2），設(shè)AC表達(dá)式為y=kx+b，代入即可求出結(jié)果；

（2）OD所在的直線交雙曲線于點(diǎn)E，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形，OD所在的直線表達(dá)式為y=x，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），⊙P的半徑最小r=，當(dāng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1時(shí)，⊙P的半徑最大r=，即可得出結(jié)果．

（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形，

∴最優(yōu)覆蓋矩形的長為：2+5＝7，寬為3+2＝5，

∴最優(yōu)覆蓋矩形的面積為：7×5＝35；

②∵點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40，

∴由定義可知，t＝﹣3或6，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），

設(shè)AC表達(dá)式為y＝kx+b，

∴或

∴或

∴y＝5x+13或；

（2）①OD所在的直線交雙曲線于點(diǎn)E，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形，如圖1所示：

∵點(diǎn)D（1，1），

∴OD所在的直線表達(dá)式為y＝x，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），

∴OE＝，

∴⊙P的半徑最小r＝，

②當(dāng)DE∥x軸時(shí)，即：點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，如圖2所示：

∵點(diǎn)D（1，1）．E（m，n）是函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一點(diǎn)

∴1＝，解得x＝4，

∴OE═=，

∴⊙P的半徑最大r＝，

∴．