Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，∠CAO＝90°﹣∠BDO．

（1）求證：AC＝BC；

（2）如圖2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8

【解析】

（1）由題意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，所以可由AAS定理證明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BC；

（2）過(guò)D作DN⊥AC于N點(diǎn)，可證明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的長(zhǎng)．

（1）證明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，

∴∠CAO＝∠CBD．

在△ACD和△BCD中 ，

∴△ACD≌△BCD（AAS）．

∴AC＝BC；

（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，

∴BD＝AD＝DE，過(guò)D作DN⊥AC于N點(diǎn)，如圖所示：

∵∠ACD＝∠BCD，

∴DO＝DN，

在Rt△BDO和Rt△EDN中 ，

∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），

∴BO＝EN．

在△DOC和△DNC中，

∴△DOC≌△DNC（AAS），

∴OC＝NC；

∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．