Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c過點(diǎn)A、B且與y軸交與點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸x=l上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AP+CP最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．

【解析】

試題分析：（1）先把C（0，3）代入y=ax2+2x+c可求得c=3，再利用對(duì)稱軸方程可求出a=﹣1，于是得到拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，通過解方程﹣x2+2x+3=0得到A（﹣1，0），B（3，0），連結(jié)BC交直線x=1于點(diǎn)P，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)PC+PA最小，利用待定系數(shù)法可計(jì)算出直線BC的解析式為y=﹣x+3，然后計(jì)算x=1的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）把C（0，3）代入y=ax2+2x+c得c=3，

因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為直線x=1，

所以﹣=1，解得a=﹣1，

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=﹣3，則A（﹣1，0），B（3，0），

連結(jié)BC交直線x=1于點(diǎn)P，連接PA，如圖，

∵PA=PB，

∴PA+PC=PC+PB=BC，

∴此時(shí)PC+PA最小，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x+3=2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．