【題目】如圖,正方形ABCD中,點P是AD上的一動點(與點D、點A不重合),DE⊥CP,垂足為E,EF⊥BE與DC交于點F.
(1)求證:△DEF∽△CEB;
(2)當(dāng)點P運動到DA的中點時,求證:點F為DC的中點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由DE⊥CP,EF⊥BE,則∠1+∠3=∠DEC=90°,∠2+∠3=∠FEB=90°,根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠2,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠4+∠6=90°,而∠4+∠5=90°,則∠5=∠6,根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=DC=BC,而點P為DA的中點,則PD= AD=DC,再根據(jù)正切的定義得到tan∠4=,tan∠4=,則,然后根據(jù)△DEF∽△CEB得到,易得,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)∵DE⊥CP,EF⊥BE,
∴∠1+∠3=∠DEC=90°,∠2+∠3=∠FEB=90°,
∴∠1=∠2,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠4+∠6=∠DCB=90°,
而在Rt△DEC中,∠4+∠5=90°,
∴∠5=∠6,
∴△DEF∽△CEB;
(2)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC,
∵點P為DA的中點,
∴PD=AD=DC,
在Rt△PDC中,tan∠4=,
在Rt△DEC中,tan∠4=,
∴,
∵△DEF∽△CEB,
∴,
而CB=DC,
∴,
∴點F為DC的中點.
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【題目】下列說法錯誤的是( 。
A. 直角三角板的兩個銳角互余
B. 經(jīng)過直線外一點只能畫一條直線與已知直線平行
C. 如果兩個角互補(bǔ),那么,這兩個角一定都是直角
D. 平行于同一條直線的兩條直線平行
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中不正確的是( )
A. 平行四邊形是中心對稱圖形
B. 斜邊及一銳角分別相等的兩直角三角形全等
C. 兩個銳角分別相等的兩直角三角形全等
D. 一直角邊及斜邊分別相等的兩直角三角形全等
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【題目】下列運算正確的是( 。
A.(﹣2ab)?(﹣3ab)3=﹣54a4b4
B.5x2?(3x3)2=15x12
C.(﹣0.1 b)?(﹣10b2)3=﹣b7
D.(2×10n)(×10n)=102n
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)求點A、B、C、D的坐標(biāo).
(2)說出拋物線y=x2-2x-3可由拋物線y=x2如何平移得到?
(3)求四邊形OCDB的面積.
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【題目】閱讀與計算:請閱讀以下材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).
斐波那契(約1170﹣1250)是意大利數(shù)學(xué)家,他研究了一列數(shù),這列數(shù)非常奇妙,被稱為斐波那契數(shù)列(按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列).后來人們在研究它的過程中,發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果,在實際生活中,很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù).斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì),在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用.
斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用[()n﹣()n]表示(其中,n≥1).這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例.
任務(wù):請根據(jù)以上材料,通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一動點,連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.
(1)如圖1,求證:AE=DF;
(2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,求證:△GEF是等腰直角三角形
(3)如圖3,若AB=,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.
①直接寫出線段AE長度的取值范圍;
②判斷△GEF的形狀,并說明理由.
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