Question

如圖，直線l的解析式為y=

4

3

x+4，l與x軸，y軸分別交于點A，B．
（1）求原點O到直線l的距離；
（2）有一個半徑為1的⊙C從坐標原點出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿y軸正方向運動，設運動時間為t（秒）．當⊙C與直線l相切時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）設點O到直線AB的距離為h，在y=

4

3

x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，有三角形的面積公式可求出O到直線AB的距離為h=2.4；
（2）如圖，設⊙C與直線l相切于點D，連CD，則CD⊥AB，由于AO⊥BO，∠ABO=∠CBD，所以∠BDC=∠BOA=90°，△ABO∽△CBD，故

BC

AB

=

CD

AO

，由（1）得AO=3，BO=4，AB=5，故

BC

5

=

1

3

，BC=

5

3

，OC=4-

5

3

=

7

3

，t=CO=

7

3

（秒），根據對稱性得BC'=BC=

5

3

，OC'=4+

5

3

=

17

3

，∴t=OC′=

17

3

（秒）．故當⊙C與直線l相切時，t=

7

3

秒或

17

3

秒．

解答：解：（1）在y=

4

3

x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB=

AO2+BO2

=5（2分）
設點O到直線AB的距離為h，
∵S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

AB•h
∴h=

AO•BO

AB

=2.4；（4分）

（2）如圖，設⊙C與直線l相切于點D，連CD，則CD⊥AB，（5分）
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴

BC

AB

=

CD

AO

由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴

BC

5

=

1

3

∴BC=

5

3

∴OC=4-

5

3

=

7

3

∴t=CO=

7

3

（秒）（8分）
根據對稱性得BC'=BC=

5

3

∴OC'=4+

5

3

=

17

3

∴t=OC′=

17

3

（秒）（9分）
∴當⊙C與直線l相切時，t=

7

3

秒或

17

3

秒．（10分）

點評：此題把一次函數與圓的知識相結合，增加了難度，在解答此題時要注意直線與圓相切的兩種情況，不要漏解．