如圖,直線l的解析式為y=-x+4,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,平行于直線l的直線m從原點O出發(fā),沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動,它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點,運動時間為t秒(0<t≤4)
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)用含t的代數(shù)式表示△MON的面積S1;
(3)以MN為對角線作矩形OMPN,記△MPN和△OAB重合部分的面積為S2
①當(dāng)2<t≤4時,試探究S2與之間的函數(shù)關(guān)系;
②在直線m的運動過程中,當(dāng)t為何值時,S2為△OAB的面積的
516
?
精英家教網(wǎng)
分析:(1)在解析式y(tǒng)=-x+4中,分別令y=0,x=0就可以求出與x,y軸的交點坐標(biāo);
(2)根據(jù)MN∥AB,得到△OMB∽△OAB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,就可以求出,用OM表示出來;
(3)根據(jù)t的不同值,所對應(yīng)的陰影部分的圖形形狀不同,因而應(yīng)分2<t≤4和當(dāng)0<t≤2兩種個情況進行討論.
解答:解:(1)當(dāng)x=0時,y=4;當(dāng)y=0時,x=4.
∴A(4,0),B(0,4);
(2)∵MN∥AB,
OM
ON
=
OA
OB
=1
,
∴OM=ON=t,
∴S1=
1
2
OM•ON=
1
2
t2;
(3)①當(dāng)2<t≤4時,易知點P在△OAB的外面,則點P的坐標(biāo)為(t,t).
理由:當(dāng)t=2時,OM=2,ON=2,OP=MN=
22+22
=2
2

直角三角形AOB中,設(shè)AB邊上的高為h,
易得AB=4
2
,則
1
2
×4
2
h=4×4×
1
2

解得h=2
2
,
故t=2時,點P在l上,
2<t≤4時,點P在△OAB的外面.
F點的坐標(biāo)滿足
x=t
y=-t+4
,即F(t,4-t),
同理E(4-t,t),則PF=PE=|t-(4-t)|=2t-4,
所以S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF,
=
1
2
t2-
1
2
PE•PF=
1
2
t2-
1
2
(2t-4)(2t-4)=-
3
2
t2+8t-8;
②當(dāng)0<t≤2時,S2=
1
2
t2,
1
2
t2=
5
16
×
1
2
×4×4=
5
2
,
解得t1=-
5
<0,t2=
5
>2,兩個都不合題意,舍去;
當(dāng)2<t≤4時,S2=-
3
2
t2+8t-8=
5
2
,
解得t3=3,t4=
7
3

綜上得,當(dāng)t=
7
3
或t=3時,S2為△OAB的面積的
5
16
點評:本題主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的求法,以及利用三角形的相似的性質(zhì).是一個難度較大的綜合題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖①,直線AB的解析式為y=kx-2k(k<0)與x軸、y軸分別交于A、B兩點,∠ABO=60°.經(jīng)過A、O兩點的⊙O1與x軸的負半軸交于點C,與直線AB切于點A.
(1)求C點的坐標(biāo);
(2)如圖②,過O1作直線EF∥y軸,在直線EF上是否存在一點D,使得△DAB的周長最短,若存在,求出D點坐標(biāo),不存在,說明理由;
(3)在(2)的條件下,連接OO1與⊙O1交于點G,點P為劣弧
GF
上一個動點,連接GP與EF的延長線交于H點,連接EP與OG交于I點,當(dāng)P在劣弧
GF
運動時(不與G、F兩點重合),O1H-O1I的值是否發(fā)生變化,若不變,求其值,若發(fā)生變化,求出其值的變化范圍.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直線l的解析式為y=
34
x-3
,并且與x軸、y軸分別相交于點A,B.
(1)求A,B兩點的坐標(biāo);
(2)一個圓心在坐標(biāo)原點、半徑為1的圓,以0.4個單位/s的速度向x軸正方向運動,問在什么時刻該圓與直線l相切?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直線AB的解析式為y=-
3
3
x+6
,分別與x軸、y軸相交于B、A兩點.點C在射線BA上以3cm/秒的速度運動,以C點為圓心作半徑為1cm的⊙C.點P以2cm/秒的速度在線段OA上來回運動,過點P作直線l垂直與y軸.若點C與點P同時從點B、點O開始運動,設(shè)運動時間為t秒,則在整個運動過程中直線l與⊙C共有
3
3
次相切;直線l與⊙C最后一次相切時t=
26
7
26
7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求如圖中直線L的解析式.

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