Question

【題目】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，有如下探討：

甲同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)這種多邊形不一定是正多邊形．如圓內(nèi)接矩形不一定是正方形．

乙同學(xué)：我知道邊數(shù)為3時(shí)，它是正三角形；我想，邊數(shù)為5時(shí)，它可能也是正五邊形…

丙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)為6時(shí)，它也不一定是正六邊形．如圖2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，這樣構(gòu)造的六邊形ADBECF不是正六邊形．

（1）如圖1，若圓內(nèi)接五邊形ABCDE的各內(nèi)角均相等，則∠ABC= °，并簡(jiǎn)要說(shuō)明圓內(nèi)接五邊形ABCDE為正五邊形的理由；

（2）如圖2，請(qǐng)證明丙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；

（3）根據(jù)以上探索過(guò)程，就問(wèn)題“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”的結(jié)論與“邊數(shù)n（n≥3，n為整數(shù)）”的關(guān)系，提出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

【答案】（1）108．見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）運(yùn)用n邊形的內(nèi)角和定理就可求出∠ABC的度數(shù)；已知圓內(nèi)接五邊形ABCDE的各內(nèi)角均相等，要證該五邊形為正五邊形，只需證該五邊形的各邊均相等，只需利用弧與圓周角之間的等量關(guān)系就可解決問(wèn)題．

（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均為120°，由=可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，問(wèn)題得以解決．

（3）依據(jù)對(duì)（1）、（2）的探索積累的經(jīng)驗(yàn)就可提出合理的猜想．

解：（1）∵五邊形的內(nèi)角和=（5﹣2）×180°=540°，

∴∠ABC==108°．

故答案為：108．

理由：如圖1，

∵∠A=∠B

∴=，

∴﹣=﹣，

∴=，

∴BC=AE．

同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，

∴BC=DE=AB=CD=AE，

∴五邊形ABCDE是正五邊形；

（2）證明：如圖2，

∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵四邊形ABCF是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC+∠AFC=180°，

∴∠AFC=120°．

同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．

∵∠ADB=120°，

∴∠DAB+∠ABD=60°．

∵=，

∴∠ABD=∠CAF，

∴∠DAB+∠CAF=60°，

∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．

同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，

∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，

故圖2中六邊形各角相等；

（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：

當(dāng)n（n≥3，n為整數(shù)）是奇數(shù)時(shí)，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；

當(dāng)n（n≥3，n為整數(shù)）時(shí)偶數(shù)時(shí)，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形不一定為正多邊形．