Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，點，為線段上一點，且滿足．

（1）求直線的解析式及點的坐標；

（2）如圖2，為線段上一動點，連接，與交于點，試探索是否為定值?若是，求出該值；若不是，請說明理由；

（3）點為坐標軸上一點，請直接寫出滿足為等腰三角形的所有點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值為2；（3），， ，，，，

【解析】

（1）利用“待定系數(shù)法”可求出解析式，然后過點C作CF⊥OB，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點C橫坐標，再利用解析式求出點C坐標即可；

（2）先利用勾股定理計算出AB、OC長，從而證明OC=BC=AC，再利用“等邊對等角”得到∠CAO=∠AOC，最后利用三角形外角定理即可得到結果；

（3）分BP=BC、CP=CB、PB=PC三種情況討論，分別進行計算即可．

解：（1）設：，

代入點、可得，

解得：，

即：，

設，如圖作，

∵，，

∴，

∴，即，

將點代入可得：，

∴；

（2）是定值，定值為2．

由（1）可得，，

∴在中，，

又∵在，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（3）①BC=BP=時：

當點P在x軸上時，OP=或，此時，，

當點P在y軸上時，在Rt△OBP中，OP=，此時，，

②CB=CP=時：

由（2）知OC=，

∴CP=OC，此時，

③PB=PC時：

當P在x軸上時，設P(x，0)，則，，

∴，解得，

此時，

當P在y軸上時，設P(0，y)，則，，

∴，解得，

此時，

綜上，，，，，，，．