【題目】如圖,已知⊙O的半徑OA的長為2,點B是⊙O上的動點,以AB為半徑的⊙A與線段OB相交于點C,AC的延長線與⊙O相交于點D.設線段AB的長為x,線段OC的長為y.
(1)求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(2)當四邊形ABDO是梯形時,求線段OC的長.

【答案】
(1)解:在⊙O與⊙A中,

∵OA=OB,AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=∠OAB,

∴△ABC∽△OAB,

= ,

= ,

∴BC= x2,

∵OC=OB﹣BC,

∴y關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=2﹣ x2

定義域為0<x<2.


(2)解:①當OD∥A B時,

=

=

整理得x2+2x﹣4=0,

∴x=﹣1 (負值舍去),

∴AB= ,這時AB≠OD,符合題意.

∴OC=2﹣ x2=2﹣ ﹣1)2= ﹣1.

②當BD∥OA時,設∠ODA=α,

∵BD∥OA,OA=OD,

∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=α,

又∵OB=OD,∴∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α,

∵AB=AC,OA=OB,

∴∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α,

∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,

∴2α+3α+3α=180°,

∴α=22.5°,∠BOA=45°,

∴∠ODB=∠OBD=45°,∠BOD=90°,

∴BD=2 ,

∵BD∥OA,

=

=

∴y=2 ﹣2.OC=2 ﹣2,

由于BD≠OA,OC=2 ﹣2符合題意.

∴當四邊形ABDO是梯形時,線段OC的長為 ﹣1或2 ﹣2.


【解析】(1)由△ABC∽△OAB,推出 = ,可得 = ,推出BC= x2,由OC=OB﹣BC,可得y關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=2﹣ x2;(2)分兩種情形討論①當OD∥A B時,②當BD∥OA時,分別想辦法構建方程解決問題;

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