【題目】如圖1,直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F,∠1與∠2互補.

(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P,EP與CD交于點G,點H是MN上一點,且GH⊥EG,求證:PF∥GH;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接PH,K是GH上一點使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化?若不變,請求出其值;若變化,說明理由.

【答案】(1)AB∥CD,理由見解析;(2)證明見解析;(3)∠HPQ的大小不發(fā)生變化,一直是45°

【解析】試題分析:(1)利用對頂角相等、等量代換可以推知同旁內(nèi)角∠AEF、∠CFE互補,所以易證ABCD;

(2)利用(1)中平行線的性質(zhì)推知°;然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證得∠EPF=90°,即EGPF,故結(jié)合已知條件GHEG,易證PFGH;

(3)利用三角形外角定理、三角形內(nèi)角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2;然后由鄰補角的定義、角平分線的定義推知∠QPK=EPK=45°+∠2;最后根據(jù)圖形中的角與角間的和差關(guān)系求得∠HPQ的大小不變,是定值45°.

試題解析:(1)如圖1,

∵∠1與∠2互補,

∴∠1+∠2=180°.

又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE

∴∠AEF+∠CFE=180°,

ABCD;

(2)如圖2,由(1)知,ABCD

∴∠BEF+∠EFD=180°.

又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P,

∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)=90°,

∴∠EPF=90°,即EGPF

GHEG

PF∥GH;

(3)∠HPQ的大小不發(fā)生變化,理由如下:

如圖3,∵∠1=∠2,

∴∠3=2∠2.

又∵GHEG,

∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.

∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.

PQ平分∠EPK,

∴∠QPK=EPK=45°+∠2.

∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,

∴∠HPQ的大小不發(fā)生變化,一直是45°.

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