【題目】已知∠AOB=120°,點P為射線OA上一動點(不與點O重合),點C為∠AOB內(nèi)部一點,連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,且點Q恰好落在射線OB上,不與點O重合.
(1)依據(jù)題意補全圖1;
(2)用等式表示∠CPO與∠CQO的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)連接OC,寫出一個OC的值,使得對于任意點P,總有OP+OQ=4,并證明.
【答案】(1)詳見解析;(2)∠CQO+∠CPO=180°,詳見解析;(3)OC=4時,對于任意點P,總有OP+OQ=4,詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意補全圖形即可;
(2)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案;
(3)連接OC,在射線OA上取點D,使得DP=OQ,連接CD,首先證明△COQ≌△CDP,然后△COD為等邊三角形,進而可得答案.
(1)補圖如圖1:
(2)∠CQO+∠CPO=180°,
理由如下:∵四邊形內(nèi)角和360°,
且∠AOB=120°,∠PCQ=60°,
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°.
(3)OC=4時,對于任意點P,總有OP+OQ=4.
證明:連接OC,在射線OA上取點D,使得DP=OQ,連接CD.
∴OP+OQ=OP+DP=OD.
∵∠1+∠2=180°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠3.
∵CP=CQ,
在△CQO和△CPD中
,
∴△COQ≌△CDP(SAS).
∴∠4=∠6,OC=CD.
∵∠4+∠5=60°,
∴∠5+∠6=60°.
即∠OCD=60°.
∴△COD是等邊三角形.
∴OC=OD=OP+OQ=4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=10,BC=15,tan∠A=點P為AD邊上任意一點,連結(jié)PB,將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.若點Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊所在的直線上,則PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積____(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過B點作BF∥AC,過C點作CF∥BD,BF與CF相交于點F.
(1)求證:四邊形BFCO是菱形;
(2)連接OF、DF,若AB=2,tan∠OFD=,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在弧MN和弦MN所組成的圖形中,P是弦MN上一動點,過點P作弦MN的垂線,交弧MN于點Q,連接MQ.已知MN=6cm,設(shè)M、P兩點間的距離為xcm,P、Q兩點間的距離為y1cm,M、Q兩點間的距離為y2cm.小軒根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,分別對函數(shù)y1,y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是小軒的探究過程,請補充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y1,y2與x的幾組對應(yīng)值:x/cm.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 0 | 2.24 | 2.83 | 3.00 | 2.83 | 2.24 | 0 |
y2/cm | 0 | 2.45 | 3.46 | 4.24 | m | 5.48 | 6 |
上表中m的值為 .(保留兩位小數(shù))
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy(圖2)中,函數(shù)y1的圖象如圖,請你描出補全后的表中y2各組數(shù)值所對應(yīng)的點(x,y2),并畫出函數(shù)y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)△MPQ有一個角是30°時,MP的長度約為 cm.(保留兩位小數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD交于點O,且AO=BO.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分線DE交AB于點E,當(dāng)AD=3,tan∠CAB=時,求AE的長.
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【題目】某地扶貧人員甲從辦公室出發(fā),騎車勻速前往所村走訪群眾,出發(fā)幾分鐘后,扶貧人員乙發(fā)現(xiàn)甲的手機落在辦公室,無法聯(lián)系,于是騎車沿相同的路線勻速去追甲.乙剛出發(fā)2分鐘,甲也發(fā)現(xiàn)自己手機落在辦公室,立刻原路原速騎車返回辦公室,2分鐘后甲遇到乙,乙把手機給甲后立即原路原速返回辦公室,甲繼續(xù)原路原速趕往村.甲、乙兩人相距的路程(米)與甲出發(fā)的時間(分)之間的關(guān)系如圖所示(乙給甲手機的時間忽略不計).有下列三個說法:
①甲出發(fā)10分鐘后與乙相遇;
②甲的速度是400米/分;
③乙返回辦公室用時4分鐘.
其中所有正確說法的序號是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點,若射線上存在點,使得是以為腰的等腰三角形,就稱點為線段關(guān)于射線的等腰點.
(1)如圖, ,
①若,則線段關(guān)于射線的等腰點的坐標(biāo)是_____;
②若,且線段關(guān)于射線的等腰點的縱坐標(biāo)小于1,求的取值范圍;
(2) 若,且射線上只存在一個線段關(guān)于射線的等腰點,則的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,探究函數(shù)y=x2+ax﹣4|x+b|+4(b<0)的圖象和性質(zhì):
(1)下表給出了部分x,y的取值;
x | L | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | L |
y | L | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | L |
由上表可知,a= ,b= ;
(2)用你喜歡的方式在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2+ax﹣4|x+b|+4的圖象;
(3)結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);
(4)若方程x2+ax﹣4|x+b|+4=x+m至少有3個不同的實數(shù)解,請直接寫出m的取值范圍.
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【題目】《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn): 分及以上為優(yōu)秀; 分分為良好; 分分為及格;分以下為不及格.某校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康情況,從八年級學(xué)生中隨機抽取了的學(xué)生進行了體質(zhì)測試,并將測試數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖.請根據(jù)相關(guān)信息解答下面的問題:
扇形統(tǒng)計圖中,“不及格” 等級所在扇形圓心角的度數(shù)是多少?
求參加本次測試學(xué)生的平均成績;
若參加本次測試“良好”及“良好”以上等級的學(xué)生共有人,請你估計全校八年級“不及格”等級的學(xué)生大約有多少人.
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