【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)的定義如下:若在射線CP上存在一點(diǎn)P′,滿(mǎn)足CP+CP′=3r,則稱(chēng)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn).下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)P′的示意圖.特別地,當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí),規(guī)定CP′=0.
根據(jù)上述材料,請(qǐng)你解決以下問(wèn)題:
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)的是點(diǎn) ;其對(duì)應(yīng)發(fā)散點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;
②點(diǎn)P在直線上,若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)P′存在,且點(diǎn)P′不在x軸上,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍;
(2)⊙C的圓心C在x軸上,半徑為1,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B.若線段AB上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的發(fā)散點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部,請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)n的取值范圍 .
【答案】(1)N,T ,(0,0);(2)<m<3.
【解析】
(1)①根據(jù)發(fā)散點(diǎn)的定義依次進(jìn)行判斷即可;②由OP≤3r=3,得出OP2≤9,設(shè)P(m,),由勾股定理得出OP2=m2+()2=4m2-18m+27≤9,解不等式得出≤m≤3.再分別將m=與3代入檢驗(yàn)即可;
(2)先由已知條件求出A(9,0),B(0,3),則,∠OBA=60°,∠OAB=30°.再設(shè)C(n,0),分兩種情況進(jìn)行討論:①C在OA上;②C在A點(diǎn)右側(cè).
解:(1)①設(shè)點(diǎn)M(3,1)的發(fā)散點(diǎn)為M’,則根據(jù)發(fā)散點(diǎn)的定義可得:OM+OM’=3,
OM==,
∴OM’=3-<0.
故不符合題意,點(diǎn)M(3,1)不存在關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn).
同理可求得:設(shè)點(diǎn)N關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為N’,則
ON+ON’=3,
∴ON’=3-=
∴點(diǎn)N關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)N’的坐標(biāo)為;
設(shè)點(diǎn)T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為T(mén)’,
則OT+OT’=3,
∴OT’=3-=0
∴點(diǎn)T(2,1) 關(guān)于⊙O的發(fā)散點(diǎn)為T(mén)’的坐標(biāo)為(0,0)
故答案為:N,T ,(0,0);
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,),
∵OP≤3,
∴≤9.
∴+≤9
整理得:-≤0
解得:≤m≤3.
又∵點(diǎn)P不在軸上,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍<m<3;
(2)令y=0,則,解得x=9,
∴A的坐標(biāo)為(9,0)
令x=0,則y=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).
∴,
∴∠OBA=60°,∠OAB=30°.
設(shè)C的坐標(biāo)為(n,0)
當(dāng)點(diǎn)C在OA上時(shí),作CD⊥AB于D,則
CD≤CP≤3r=3
∴AC=2CD≤6
∴9-n≤6解得n≥3
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊時(shí),AC的最大值為3.
∴C的橫坐標(biāo)n≤12.
綜上所述,圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是≤m≤3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出1個(gè)盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;
(2)攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子(不放回),再?gòu)挠嘞碌膬蓚(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率(不重疊無(wú)縫隙拼接).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠MON=90°,等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)B是射線ON上的一定點(diǎn),頂點(diǎn)A于點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)C在∠MON內(nèi)部
(1)當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上移動(dòng)到A1時(shí),連接A1B,請(qǐng)?jiān)凇?/span>MON內(nèi)部作出以A1B為一邊的等邊三角形A1BC1(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);
(2)設(shè)A1B與OC交于點(diǎn)Q,BC的延長(zhǎng)線與A1C1交于點(diǎn)D.求證:△BCQ∽△BA1D;
(3)連接CC1,試猜想∠BCC1為多少度,并證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可銷(xiāo)售20件,每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售量,增加盈利,盡量減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)5元,商場(chǎng)平均每天可多售出10件.
(1)若每件襯衫降價(jià)4元,商場(chǎng)每天可盈利多少元?
(2)若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),連接DE,將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α,BD、CE所在直線相交所成的銳角為β.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α=0°時(shí),=_____;β=_____°.
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),和β的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)在△ADE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)DE∥AC時(shí),直接寫(xiě)出此時(shí)△CBE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB,CD交于點(diǎn)E,F,連接BF交AC于點(diǎn)M,連接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,則下列結(jié)論:①FB⊥OC,OM=CM; ②△EOB≌△CMB;③MB:OE=3:2;④四邊形EBFD是菱形.其中正確結(jié)論是( 。
A.①②③B.②③④C.①④D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,則稱(chēng)四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)奇妙四邊形對(duì)角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì):奇妙四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:
(1)矩形 奇妙四邊形(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形,若⊙O的半徑為6,∠ BCD=60°.求奇妙四邊形ABCD的面積;
(3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M.請(qǐng)猜測(cè)OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(3,0),C(1,﹣1),AC交x軸于點(diǎn)P.
(1)∠ACB的度數(shù)為_____;
(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為______;
(3)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC放大為原來(lái)的2倍,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出所有符合條件的三角形.
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