Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：

①作∠BAC的平分線AM交BC于點D；

②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點P；

③連接PB，PC．

請你觀察圖形解答下列問題：

（1）線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）PA＝PB＝PC；（2）∠BPC＝80°．

【解析】

（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=40°，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）PA=PB=PC．理由如下：

∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分線，∴PB=PC．

∵EP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴PA=PB=PC．

故答案為：PA=PB=PC；

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°．

∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°．

∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=∠CAP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．