【題目】如圖,ABC中,AB=BC,AC=8tanA=k,PAC邊上一動點,設(shè)PC=x,作PEABBCE,PFBCABF

1)證明:PCE是等腰三角形;

2EMFN、BH分別是PECAFP、ABC的高,用含xk的代數(shù)式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系;

3)當(dāng)k=4時,求四邊形PEBF的面積Sx的函數(shù)關(guān)系式.x為何值時,S有最大值?并求出S的最大值.

【答案】解:(1)證明:∵AB=BC,∴∠A=∠C。

∵PE∥AB∴∠CPE=∠A。

∴∠CPE=∠C∴△PCE是等腰三角形。

2∵△PCE是等腰三角形,EM⊥CP,∴CM=CP=,tanC=tanA=k

∴EM=CMtanC=k=。

同理:FN=ANtanA=k=4k﹣。

由于BH=AHtanA=×8k=4k,EM+FN=+4k﹣=4k,

∴EM+FN=BH

3)當(dāng)k=4時,EM=2xFN=16﹣2x,BH=16,

∴SPCE=x2x=x2,SAPF=8﹣x16﹣2x=8﹣x2,SABC=×8×16=64。

。

當(dāng)k=4時,四邊形PEBF的面積Sx的函數(shù)關(guān)系式為

,

當(dāng)x=4時,S有最大值32

【解析】1)根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠C,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠CPE=∠A,從而得到∠CPE=∠C,即可得證。

2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM=CP,然后求出EM,同理求出FNBH的長,再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH。

3)分別求出EM、FNBH,然后根據(jù)SPCE,SAPFSABC,再根據(jù),整理即可得到Sx的關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的最值問題解答。

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鍛煉時間(時)

3

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5

6

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6

13

14

5

2

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考試成績/分

30

29

28

27

26

學(xué)生數(shù)/人

20

15

10

2

2

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