【題目】已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程:
方程①: ;
方程②:x2+(2k+1)x﹣2k﹣3=0.
(1)若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求:k的值
(2)若方程①和②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
(3)若方程①和②有一個(gè)公共根a,求代數(shù)式(a2+4a﹣2)k+3a2+5a的值.
【答案】(1)k=﹣4;(2)證明見(jiàn)解析;(3)5;
【解析】
(1)根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到1+≠0且△1=0,即(k+2)2-4(1+)×(-1)=0,求出k的值即可.(2)計(jì)算第2個(gè)方程的判別式得△2=(2k+3)2+4>0,利用判別式的意義可判斷方程②總有實(shí)數(shù)根,于是可判斷此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根,(3)設(shè)a 是方程①和②的公共根,利用方程解的定義得到(1+)a2+(k+2)a-1=0 ③,a2+(2k+1)a-2k-3=0④,利用③×2(2+k)a2+(2k+4)a﹣2=0⑤,由⑤+④得(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5,然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值.
(1)∵方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴ ,Δ1=0,
則k≠﹣2,△1=b2﹣4ac=(k+2)2﹣4(1+)×(﹣1)=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8,
則(k+2)(k+4)=0,
∴k=﹣2,k=﹣4,
∵k≠﹣2,
∴k=﹣4;
(2)∵△2=(2k+1)2﹣4×1×(﹣2k﹣3)=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=(2k+3)2+4>0,
∴無(wú)論k為何值時(shí),方程②總有實(shí)數(shù)根,
∵方程①、②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,
∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.
(3)根據(jù)a是方程①和②的公共根,
∴③, a2+(2k+1)a﹣2k﹣3=0④,
∴③×2得:(2+k)a2+(2k+4)a﹣2=0⑤,
⑤+④得:(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5,
代數(shù)式=(a2+4a﹣2)k+3a2+5a=(3+k)a2+(4k+5)a﹣2k=5.
故代數(shù)式的值為5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,交CB于點(diǎn)D,DE⊥AB,垂足為E,若AC=3,AB=5,則DE的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線(xiàn),DE,DF分別是△ABD和△ACD的高.得到下面四個(gè)結(jié)論:①OA=OD;②AD⊥EF;③當(dāng)∠A=90°時(shí),四邊形AEDF是正方形;④ AE2+DF2=AF2+DE2.上述結(jié)論中正確的是( )
A. ②③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D為BC邊中點(diǎn),P為AC邊中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn)且BE=CE,連接AE,取AE中點(diǎn)Q并連接QD,取QD中點(diǎn)G,延長(zhǎng)PG與BC邊交于點(diǎn)H.若BC=9,則HE=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B,C,D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn),AB等于16cm,AD等于6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以3cm每秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng),一直移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2cm每秒的速度向點(diǎn)D移動(dòng)。
(1)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí),四邊形PBCQ的面積為33平方厘米?
(2)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為10cm?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 為 AB 邊上一點(diǎn).如下結(jié)論:
①△ACE≌△BCD; ②△ADE 是直角三角形; ③AD2+BD2=2CD2; ④AE=AC, 其中正確的結(jié)論有( 。
A.①③④B.①②③C.①②D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在由6個(gè)大小相同的小正方形組成的方格中:
(1)如圖(1),△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,試判斷△ABC的形狀,并加以證明;
(2)如圖(2),連結(jié)三格和兩格的對(duì)角線(xiàn),利用(1)的圖形特征,求出∠α+∠β的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題情境:如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與A,C不重合),以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD,∠ECD=90°,連接BE,AD.猜想線(xiàn)段BE,AD之間的關(guān)系.
(1)獨(dú)立思考:請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系:
(2)合作交流:城南中學(xué)八年級(jí)某學(xué)習(xí)小組受上述問(wèn)題的啟發(fā),將圖(1)中的等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖(2)的位置,BE交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O.(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)拓展延伸:圖(1)中AD和BE存在著怎樣的位置關(guān)系?在等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中AD和BE的這種位置關(guān)系是否會(huì)變化?請(qǐng)結(jié)合圖(2)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線(xiàn)AG交BC于點(diǎn)E,若BF=12,AB=10,則AE的長(zhǎng)為( )
A.16 B.15 C.14 D.13
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