Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)F，使AF=AE，連結(jié)EF．將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°），如圖2所示，連結(jié)DE、BF．

（1）請(qǐng)直接寫出DE的取值范圍：_______________________；

（2）試探究DE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形EBCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）DE的取值范圍：2＜DE＜；（2）DE=BF，DE⊥BF，理由詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)DE=4時(shí)，四邊形EBCD的面積為14.5．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)E在AB邊上和在AD邊上時(shí)DE分別為最大值和最小值解答即可；（2）延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)H，易得∠EAD=∠FAB，根據(jù)SAS可證明△EAD≌△FAB，即可得DE=BF，∠ADE=∠ABF，根據(jù)∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°可得∠ABF+∠BGH=90°進(jìn)而可得∠BHG=90° 即DE⊥BF；（3）由AE=3，DE=4，AD=5可得△AED是直角三角形，由（2）得△EAD≌△FAB，可知∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，，由∠EAF=90°可得AE//BF，進(jìn)而可求出四邊形ABEF得面積，根據(jù) 即可得答案.

（1）∵點(diǎn)E在AB邊上和在AD邊上時(shí)DE分別為最大值和最小值，

∴，5-3=2，

∴DE的取值范圍：2＜DE＜；

（2）DE=BF，DE⊥BF，理由如下：

延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)H

∵∠BAD=∠FAE=90°

即∠BAE+∠EAD=∠BAE+∠FAB=90°

∴∠EAD=∠FAB

在△EAD和△FAB中

∴△EAD≌△FAB

∴DE=BF，∠ADE=∠ABF

又∵∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°

∴∠ABF+∠BGH=90°

∴∠BHG=90° 即DE⊥BF

（3）∵AE=3，DE=4，AD=5

∴

∴△ADE為直角三角形，∠AED=90°

由（2）得△EAD≌△FAB

∴∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，

又∵∠EAF=90°

∴AE∥BF

∴四邊形AEBF的面積為：==10.5

∴=10.5

∴ 52-10.5=14.5

答：當(dāng)DE=4時(shí)，四邊形EBCD的面積為14.5．