【題目】如圖1,ABCD為正方形,直線MN分別過(guò)AD邊與BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為直線MN上任意一點(diǎn),連接PB、PC分別與AD邊交于E、F兩點(diǎn),PC與BD交于點(diǎn)K,連接AK與PB交于點(diǎn)G.
(1)探索發(fā)現(xiàn)
當(dāng)點(diǎn)P落在AD邊上時(shí),如圖2,試探究PB與AK的位置關(guān)系以及PB、PK、AK三者的數(shù)量關(guān)系(直接寫出無(wú)需證明);
(2)延伸拓展
當(dāng)點(diǎn)P落在正方形外,如圖1,以上兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立請(qǐng)給出證明,如果不成立請(qǐng)說(shuō)明你的理由;
(3)應(yīng)用推廣
如圖3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰長(zhǎng)為3,M、N分別為AD邊與BD邊的中點(diǎn),K為線段DN中點(diǎn),F(xiàn)為AD邊上靠近于D的三等分點(diǎn).連接KF并延長(zhǎng)與直線MN交于點(diǎn)P,連接PB分別與AD、AK交于點(diǎn)E、G.試求四邊形EFKG的周長(zhǎng)及面積.
【答案】
(1)
解:PB⊥AK,PB=PK+AK;
理由:如圖2中,
∵點(diǎn)P在MN上,根據(jù)對(duì)稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC,
又∠ABK=∠CBK=45°,
在△BKA和△BKC中,
∴△ABK≌△CBK,
∴∠2=∠3且AK=CK,
∴∠PBC=∠3.
又∠PBC+∠4=90°,
∴∠3+∠4=90°,
即PB⊥AK.
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.
(2)
以上兩個(gè)結(jié)論仍然成立,
理由如下:如圖1中,
∵點(diǎn)P在MN上,根據(jù)對(duì)稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC,
又∠ABK=∠CBK=45°,
在△BKA和△BKC中,
∴△ABK≌△CBK,
∴∠2=∠3且AK=CK,
∴∠PBC=∠3.
又∠PBC+∠4=90°,
∴∠3+∠4=90°,
即PB⊥AK.
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.
(3)
如圖3中,過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交PK延長(zhǎng)線與點(diǎn)C,連接CD.
∵FD∥BD,
∴△FDK∽△CBK.
又DK:BK=1:3,
∴FD:BC=1:3.
∵FD:AD=1:3,
∴BC=AD.
∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD,
∴四邊形ABCD為正方形.
∵PB=PK+AK,
即(PE+BE)=(PF+FK)+AK,又PE=PF,
∴BE=FK+AK.
在Rt△EAB中,∵AE=1,AB=3,
∴BE= = .
∵AG⊥BE(上一問(wèn)結(jié)論),
∵Rt△AGE∽R(shí)t△BGA,且相似比為1:3,
設(shè)EG=t,AG=3t,BG=9t,
∴BE=10t= ,
∴ .
∴四邊形EFKG的周長(zhǎng)=EF+FK+GK+EG=EF+(FK+AK)﹣AG+EG
=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= .
過(guò)點(diǎn)K作AD垂線,垂足為H,
∵HK∥AB且DK:DB=1:4,
∴KH= AB= ,
∴S四邊形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= AFKH﹣ AGEG= 2 ﹣ 3tt= .
【解析】●探索發(fā)現(xiàn) PB⊥AK,PB=PK+AK,只要證明∠3=∠4=90°即可證明PB⊥AK,由△ABK≌△CBK,結(jié)合PB=PC即可解決問(wèn)題.
●延伸拓展 以上兩個(gè)結(jié)論仍然成立,證明方法類似上面.
●應(yīng)用推廣 如圖3中,過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交PK延長(zhǎng)線與點(diǎn)C,連接CD,利用上面結(jié)論結(jié)合條件即可解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí),掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且與直線y=x﹣2交于B,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)求證:∠ABC=90°;
(3)在直線BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店打出促銷廣告:最潮新款服裝50件,每件售價(jià)300元,若一次性購(gòu)買不超過(guò)10件時(shí),售價(jià)不變;若一次性購(gòu)買超過(guò)10件時(shí),每多買1件,所買的每件服裝的售價(jià)均降低2元.已知該服裝成本是每件200元,設(shè)顧客一次性購(gòu)買服裝x件時(shí),該網(wǎng)店從中獲利y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)顧客一次性購(gòu)買多少件時(shí),該網(wǎng)店從中獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì),教育行政部門規(guī)定學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間不少于1小時(shí).為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,對(duì)部分學(xué)生參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)一共調(diào)查了多少名學(xué)生;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有6000名學(xué)生,根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校全體學(xué)生每天參與戶外活動(dòng)所用的總時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì),教育行政部門規(guī)定學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間不少于1小時(shí).為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,對(duì)部分學(xué)生參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)一共調(diào)查了多少名學(xué)生;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有6000名學(xué)生,根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校全體學(xué)生每天參與戶外活動(dòng)所用的總時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分,則該直線l的解析式為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,8),點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)若反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過(guò)P點(diǎn)、Q點(diǎn),求a的值;
(2)若OQ垂直平分AP,求a的值;
(3)當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),是否存在a使△OPQ為直角三角形?若存在,求出a的值,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開展以感恩教育為主題的藝術(shù)活動(dòng),舉辦了四個(gè)項(xiàng)目的比賽,它們分別是演講、唱歌、書法、繪畫.要求每位同學(xué)必須參加,且限報(bào)一項(xiàng)活動(dòng).以九年級(jí)(1)班為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成如圖1、圖2所示的兩幅統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你結(jié)合圖示所給出的信息解答下列問(wèn)題.
(1)求出參加繪畫比賽的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比?
(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中參加書法比賽的學(xué)生所在扇形圓心角的度數(shù)?
(3)若該校九年級(jí)學(xué)生有600人,請(qǐng)你估計(jì)這次藝術(shù)活動(dòng)中,參加演講和唱歌的學(xué)生各有多少人?
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