Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點(不與A，B重合)，對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N.下列結論：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正確的有(　　)

A.0個B.1個C.2個D.3個

Answer 1

【答案】D

【解析】

依據(jù)正方形的性質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△APE和△AME中，
∠BAC＝∠DAC
AE＝AE
∠AEP＝∠AEM，
∴△APE≌△AME（ASA），

故①正確；
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP．
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∴PE＋PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM＋PN＝AC，∴PM+PN=BD；

故②正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠OEP＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∴OE＝PF，OF＝PE，
在直角△OPF中，OE＋PE＝PO，
∴PE＋PF＝PO，

故③正確；

∴正確的有3個，

故選：D