Question

【題目】如圖，已知一條直線過點，且與拋物線交于A、B兩點，其中點A的橫坐標是-2.

⑴求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點B的坐標 ；

⑵在軸上是否存在點C,使得ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶.過線段AB上一點P,作PM∥軸，交拋物線于點M,點M在第一象限；點，當(dāng)點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（8，16）；（2）點C的坐標為（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當(dāng)M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是18.

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)點A在二次函數(shù)上求出點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點坐標求出求出點B的坐標；(2)、根據(jù)點A和點B的坐標求出的值，設(shè)點C的坐標為(m，0)，然后分別求出和的值，然后根據(jù)勾股定理分三種情況進行討論，分別求出m的值，得出點C的坐標；(3)、設(shè)點M的坐標為：（a， ），MP與y軸交于點Q，根據(jù)Rt△MQN的勾股定理求出MN的長度，根據(jù)點P和點M的縱坐標相等得出點P的橫坐標為，從而得出MN+3MP關(guān)于a的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值．

試題解析：(1)、∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為﹣2，

∴y=×（﹣2）2=1，A點的坐標為（﹣2，1），

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

將（0，4），（﹣2，1）代入得： ，解得： ，

∴直線y=x+4， ∵直線與拋物線相交， ∴x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，

當(dāng)x=8時，y=16， ∴點B的坐標為（8，16）；

(2)、如圖1，連接AC，BC， ∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．

設(shè)點C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5， BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，

①若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，解得：m=﹣；

②若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320， 解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325， 解得：m=32；

∴點C的坐標為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）設(shè)M（a， ），設(shè)MP與y軸交于點Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=，

又∵點P與點M縱坐標相同， ∴+4=， ∴x=， ∴點P的橫坐標為，

∴MP=a﹣， ∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣+3a+9，

∴當(dāng)a=﹣=6， 又∵﹣2≤6≤8， ∴取到最大值18，

∴當(dāng)M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是18．