Question

【題目】我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”.請(qǐng)解答下列問題：

(1)“梯形、長方形、正方形”中“等鄰角四邊形”是____________；

(2)如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn).求證：四邊形是“等鄰角四邊形”；

(3)已知：在“等鄰角四邊形”中，，，，，請(qǐng)畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）長方形，正方形；（2）證明見詳解；（3）CD的長為11或或2或10+.

【解析】

（1）長方形和正方形至少有一組鄰角相等，根據(jù)等鄰角四邊形的定義即可判斷；

（2）取AC的中點(diǎn)為H，連接FH,EH,由三角形中位線可得EH∥AB,且EH= AB；FH∥CD,且FH= CD,進(jìn)而得到AB=CD,EH=FH,根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠2=∠4,∠1=∠3，進(jìn)而得到∠4=∠3, 根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠AGE=∠GEC,進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）分四種情況：①∠D=∠A=90°時(shí),② ∠A=∠B=90°時(shí)，③∠B=∠C=60°時(shí)，④∠C=∠D=60°時(shí)，分別畫出四種情況的圖形，作出輔助線，根據(jù)三角形的條件即可求得.

（1）長方形，正方形；

（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)為H連接FH,EH,

∵E為BC中點(diǎn)，

∴EH為的中位線，

∴EH∥AB,且EH= AB,

同理，FH∥CD,且FH= CD,

∵AB=AC,CD=AC,

∴AB=CD,EH=FH,

∴∠1=∠2,

∵EH∥AB,FH∥CD,

∴∠2=∠4,∠1=∠3,

∴∠4=∠3,

∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°,

∴∠AGE=∠GEC,

∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形；

（3）①當(dāng)∠D=∠A=90°時(shí),

如圖所示，作BE⊥CD于E,

∵∠A=∠D=∠BED=90°,

∴四邊形ADEB為矩形，

∴DE=AB=6，

在中，BC=10,∠C=60°,

∴CE=5,

∴CD=DE+CE=11;

②當(dāng)∠A=∠B=90°時(shí)，

如圖所示，作CE⊥AD交AD的延長線于E,

∵∠A=∠B=∠E,

∴四邊形AECB為矩形，

∴AE=BC=10,CE=AB=6,

在中，∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°,

設(shè)DE=x，則CD=2x,由勾股定理得：

解得：

∴CD= ；

③當(dāng)∠B=∠C=60°時(shí)，

如圖所示，分別延長AD,BC交于點(diǎn)E，

在中，∠B=60°，AB=6,

∴BE=2AB=12, ∠E=30°,

∴CE=BE-BC=12-10=2,

∵∠BCD=60°,

∴∠CDE=∠CED=30°,

∴CD=CE=2,

④當(dāng)∠C=∠D=60°時(shí)，

如圖，分別延長DA,CB交于點(diǎn)E,

∵∠C=∠D=60°,

∴∠E=60°,CD=CE,

在中，∠E=60°,AB=6,

設(shè)AE=x，則BE=2x,由勾股定理得：

解得：

∴BE=,

∴CD=BC+BE=10+;

∴綜上所述，CD的長為11或或2或10+.