【題目】如圖,在四邊形ABCD中,CA平分∠DCB,∠ADC=∠BAC=90°.

(1)求證:AC2=BCDC;
(2)若BC=5,DC=1,求線段AD的長.

【答案】
(1)證明:∵CA平分∠DCB,

∴∠ACB=∠ACD,

∵∠ADC=∠BAC=90°,

∴△ABC∽△DAC,

∴AC2=BCDC


(2)解:由(1)知,AC2=BCDC,

∵BC=5,DC=1,

∴AC2=5×1=5,

∵∠ADC=90°,

AD= = =2


【解析】(1)由CA平分∠DCB,可推得∠ACB=∠ACD,又由于∠ADC=∠BAC,可證得△ABC∽△DAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論;(2)由(1)可推出AC2=5×1=5,根據(jù)勾股定理可求AD.
【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,點A,O,B在同一直線上,射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC.

(1)求∠DOE的度數(shù);

(2)寫出圖中所有互為余角的角.

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【題目】如圖,在ABCD中,∠ADC的平分線交AB于點E,∠ABC的平分線交CD于點F,求證:四邊形EBFD是平行四邊形.

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【題目】某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜,若在市場上直接銷售,每噸利潤為1 000元;經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達4 500元;經(jīng)精加工后銷售,每噸利潤漲至7 500元.

當?shù)匾患沂卟斯臼斋@這種蔬菜140噸,該公司加工廠的生產(chǎn)能力是:如果對蔬菜進行粗加工,每天可加工16噸;如果進行精加工,每天可加工6噸,但兩種加工方式不能同時進行,受季節(jié)等條件限制,公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢,為此公司制訂了三種方案:

方案一:將蔬菜全部進行粗加工;

方案二:盡可能多的對蔬菜進行精加工,沒有來得及進行加工的蔬菜,在市場上直接銷售;

方案三:將部分蔬菜進行精加工,其余蔬菜進行粗加工,并恰好15天完成.

你認為選擇哪種方案獲利最多?為什么?

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【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°,A=30°,BD是∠ABC的平分線,CD=5cm,求AB的長.

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【題目】如圖,已知拋物線的頂點在第四象限,頂點到x軸的距離為3,拋物線與x軸交于原點O(0,0)及點A,且OA=4.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)若線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA′,試判斷點A′是否在該拋物線上,并說明理由.

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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線與直徑CD的延長線交于點E,已知AE=AC.

(1)求∠B的度數(shù);
(2)若ED=1,求AE的長.

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【題目】如圖,ABDE,1=ACB,AC平分∠BAD,

(1)試說明: ADBC.

(2)若∠B=80°,求∠ADE的度數(shù).

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【題目】如圖,二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標;
(2)當點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標;若不存在,請說明理由.
(3)當P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標.

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