【題目】如圖1,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過(guò)A的一條直線(xiàn),且B、C在A、E的異側(cè),BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

(1)求證:BD=DE+CE;
(2)若直線(xiàn)AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)(BD<CE),其余條件不變,則BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何?請(qǐng)予以證明;

(3)若直線(xiàn)AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)(BD>CE),其余條件不變,問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果,不需說(shuō)明理由;

(4)根據(jù)以上的討論,請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表述BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系.

【答案】
(1)

證明:∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠EAC=90°,

又∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠BDA=∠AEC=90°,

∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠ABD=∠EAC,

在△ABD與△CAE中,

,

∴△ABD≌△CAE,

∴BD=AE,AD=CE,

∵AE=AD+DE=CE+DE,

∴BD=DE+CE


(2)

證明:∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠EAC=90°,

又∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠BDA=∠AEC=90°,

∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠ABD=∠EAC,

在△ABD與△CAE中,

∴△ABD≌△CAE,

∴BD=AE,AD=CE,

∵DE=AD+AE=CE+BD,

∴DE=BD+CE


(3)

證明:∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠EAC=90°,

又∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠BDA=∠AEC=90°,

∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠ABD=∠EAC,

在△ABD與△CAE中,

,

∴△ABD≌△CAE,

∴BD=AE,AD=CE,

∵DE=AD+AE=BD+CE,

∴DE=BD+CE


(4)

證明:BD與CE的和等于DE或BD等于DE與CE的和


【解析】(1)證明△ABD≌△CAE,即可證得BD=AE,AD=CE,而AE=AD+DE=CE+DE,即可證得;(2)(3)圖形變換了,但是(1)中的全等關(guān)系并沒(méi)有改變,因而B(niǎo)D與DE、CE的關(guān)系并沒(méi)有改變;(4)把BD與DE、CE的關(guān)系用語(yǔ)言表述出來(lái)即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí),掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°.

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(2)求△ABC的面積.
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