【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)PBC邊上,直線11y=2x+3,直線12y=2x3

1)分別求直線11x軸、直線12AB的交點(diǎn)DE的坐標(biāo);

2)已知點(diǎn)M在矩形ABCD內(nèi)部,且是直線12上的點(diǎn),若△APM是等腰直角三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)我們把直線11和直線12上的點(diǎn)所組成的圖形稱為圖形F.已知矩形ANPQ的頂點(diǎn)N在圖形F上,且在AP的上方,Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,請(qǐng)直接寫出x的取值范圍(不必說(shuō)明理由)

【答案】1(0),(3,3);(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1);(30xx

【解析】

1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求直線l1x軸,直線l2AB的交點(diǎn)坐標(biāo);
2)分三種情況:①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;進(jìn)行討論,再看點(diǎn)M是否在矩形ABCD內(nèi)部,即可求點(diǎn)M的坐標(biāo);
3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和NAP的上方,可求N點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

1)直線l1:當(dāng)y=0時(shí),2x+3=0,x,

則直線l1x軸坐標(biāo)為(0)

直線l2:當(dāng)y=3時(shí),2x3=3,x=3

則直線l2AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3);

2)①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,連結(jié)AC,如圖1所示:

APB>∠ACB45°,∴△APM不可能是等腰直角三角形,∴點(diǎn)M不存在;

②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,如圖2所示:

過(guò)點(diǎn)MMNCB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

則∠PNM=ABP=90°,∠BAP=NPM,

在△ABP和△PNM中,,∴△ABP≌△PNM(AAS),∴AB=PN=4MN=BP

設(shè)M(x,2x3),則MN=x4,∴2x3=4+3(x4),

x,∴M(,),

點(diǎn)M在第一象限,但不在矩形ABCD內(nèi)部,不合題意舍去;

③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,如圖3所示:

設(shè)M1(x2x3),

過(guò)點(diǎn)M1M1G1OA,交BC于點(diǎn)H1

同理:△AM1G1≌△PM1H1(AAS),

AG1=M1H1=3(2x3)

x+3(2x3)=4,

x=2,∴M1(2,1);

設(shè)M2(x,2x3),

同理可得x+2x33=4,∴x,

M2(,),

點(diǎn)M2在第一象限,但不在矩形ABCD內(nèi)部,不合題意舍去;

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1);

3)當(dāng)點(diǎn)N在直線l2上時(shí).

∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x

N(x,2x3),

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí),P(43),

過(guò)NNHABH,則△NHG是直角三角形,如圖4所示:

AP的中點(diǎn)G坐標(biāo)為(2,3)

∵四邊形ANPQ是矩形,

∴∠ANB=90°

NGAP=2,

(x2)2+(2x33)2=4

x(點(diǎn)NAB上方的橫坐標(biāo))x=2(點(diǎn)NAP下方的橫坐標(biāo),不合題意舍去),

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí),連接NG',過(guò)NNHG'HH,

則△NHG'是直角三角形,如圖5所示:

P(4,0),AP的中點(diǎn)G'坐標(biāo)為(2,),

同理:NG'AP,

(x2)2+(2x3)2,

x(點(diǎn)NAB上方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標(biāo))x(點(diǎn)NAP下方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標(biāo),不合題意舍去),

x,

當(dāng)點(diǎn)Nl1上時(shí),

點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí),連接NG,過(guò)NNHABH,

則△NHG是直角三角形,如圖6所示:

同理:(2x)2+x2=4,

解得:x,∴0x,

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí),NAP的下方,不合題意,∴x的取值范圍為:0xx

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1)通過(guò)取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,得到了xy的幾組對(duì)應(yīng)值,如下表:

x/cm

0

0.40

0.55

1.00

1.80

2.29

2.61

3

y/cm

2

3.68

3.84

3.65

3.13

2.70

2

2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;

3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí),DE長(zhǎng)度約為    cm(結(jié)果保留一位小數(shù))

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