Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，動圓⊙O與AD邊相切于點M，與AB邊相切于點N，過點D作⊙O的切線DP交邊CB于點P．
（1）當⊙O與BC相切時（如圖1），求CP的長；
（2）當⊙O與BC邊沒有公共點時，設⊙O的半徑為r，求r的取值范圍；
（3）若⊙O′是△CDP的內切圓（如圖2），試問∠ODO′的大小是否改變？若認為不變，請求出∠ODO′的正切值；若認為改變，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設⊙O與BC相切于點Q，與DP相切于點K，
∵⊙O與AD邊相切于點M，與AB邊相切于點N，
∴DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，
∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ，即DP+AB=BP+AD．
∵AB=AD，
∴DP=BP．
過D作DH⊥AB于H，
∵ABCD為直角梯形，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴DH=BC，AH=AB-DC=6，
∵AD=10，
∴BC=8．
設CP=x，則BP=8-x，
則在Rt△DCP中，DC²+CP²=DP²，即16+x²=（8-x）²
∴x=3，即CP=3．

（2）圖1中，延長AD、BC交于G，則⊙O為△ABG的內切圓，
∵DH⊥AB，
∴AB：AG=cosA=AH：AD，
∴AG=，
∴BG=，
∵，
∴=．
⊙O為△ABD的內切圓，
在Rt△CBD中，DC=4，CB=8，
∴BD=，
∵，
∴=，
∴．

（3）∠ODO′的大小不變．
∵⊙O與AD、DP相切，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∴∠ODO′=∠2+∠3==，
∵在△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC=，
∴tan∠ODO’=tan=tan∠BDC==2．
分析：（1）設⊙O與BC相切于點Q，與DP相切于點K，由題意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，則DP+AB=BP+AD，過D作DH⊥AB于H，根據四邊形ABCD為直角梯形，得DH=BC，AH=6，設CP=x，則BP=8-x，則在Rt△DCP中，由勾股定理求得x即可；
（2）延長AD、BC交于G，則⊙O為△ABG的內切圓，即可求得AG，BG，再由三角形的面積公式求出圓的半徑，即可得出半徑的取值范圍；
（3）由題意得出∠ODO′=，再因為AB∥CD，則∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠BDC，∠BDC=，從而求得tan∠ODO′的值．
點評：本題是一道綜合性很強的題目，考查了三角形的內切圓和內心、勾股定理、切線長定理、解直角三角形等知識點，難度較大．