Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，E是AB的中點，連接DE、CE，AD+BC=CD，以下結(jié)論：
（1）∠CED=90°；
（2）DE平分∠ADC；
（3）以AB為直徑的圓與CD相切；
（4）以CD為直徑的圓與AB相切；
（5）△CDE的面積等于梯形ABCD面積的一半．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

分析：先過E作EF∥BC，再過E作EG⊥CD，分別與CD交于F、G．
（1）由于EF∥BC∥AD，E是AB中點，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知DF=CF，即EF是梯形ABCD的中位線，那么EF=

1

2

（AD+BC），而AD+BC=CDE，等量代換有EF=

1

2

CD，利用直角三角形的判定可知△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；
（2）由EF∥BC∥AD，利用平行線的性質(zhì)，可知∠1=∠DEF，又EF是Rt△DEC的中線，故∠DE=EF=CF，那么∠2=∠DEF，等量代換∠1=∠2，即DE平分∠ADC；
（3）由于EG⊥CD，∠A=90°，易得∠A=∠EGD，而∠1=∠2，ED=ED，利用AAS可證△AED≌△GED，那么
EA=EG=

1

2

AB，而EG⊥CD，那么CD是⊙E的切線，即以AB為直徑的圓與CD相切；
（4）由于∠A=90°，EF∥AD∥BC，那么∠BEC=90°，而EF=

1

2

CD，所以AB是⊙F的切線，即以CD為直徑的圓與AB相切；
（5）由（3）知△AED≌△GED，即S_△AED=S_△GED，AD=DG，而CD=AD+BC，易得CG=CB，同（2）的證法相同，可證∠BCE=∠GCE，和（3）的證法相同，可證△BCE≌△GCE，即S_△BCE=S_△GCE，易證
S_△CDE=

1

2

S_梯形ABCD，即△CDE的面積等于梯形ABCD面積的一半．

解答：解：先過E作EF∥BC，再過E作EG⊥CD，分別與CD交于F、G．
（1）∵EF∥BC∥AD，E是AB中點，
∴AE：BE=CF：DF，AE=BE，
∴DF=CF，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
又∵AD+BC=CD，
∴EF=

1

2

CD，
∴△DEC是直角三角形，
即∠DEC=90°；

（2）∵EF∥BC∥AD，
∴∠1=∠DEF，
又∵EF是Rt△DEC的中線，
∴DF=EF，
∴∠2=∠DEF，
∴∠1=∠2，
即DE平分∠ADC；

（3）∵EG⊥CD，∠A=90°，
∴∠A=∠EGD=90°，
又∵∠1=∠2，ED=ED，
∴△AED≌△GED，
∴EG=AE=

1

2

AB，
又∵EG⊥CD，
∴CD是⊙E的切線，
即以AB為直徑的圓與CD相切；

（4）∵∠A=90°，EF∥AD∥BC，
∴∠EBC=90°，
∴EF⊥AB，
又∵EF=

1

2

CD，
∴AB是⊙F的切線，
即以CD為直徑的圓與AB相切；

（5）由（3）知△AED≌△GED，
∴S_△AED=S_△GED，AD=DG，
又∵AD+BC=CD，
∴BC=CG，
同（2）一樣，CE是∠BCD的平分線，
∴∠BCE=∠GCE，
∴△BCE≌△GCE，
∴S_△BCE=S_△GCE，
∴S_△CDE=

1

2

S_梯形ABCD，
即△CDE的面積等于梯形ABCD面積的一半．
故此五個選項都正確，
故選D．

點評：本題利用了梯形中位線定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、等量代換、直角三角形的判定．