如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形精英家教網(wǎng)ABCD外作等邊三角形ADF,點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn),若AB=6,求BC的長(zhǎng).
分析:(1)由于△ADF為等邊三角形,∠DAB=90°,∠EAD=15°可知FAE=∠BAE=75°,AB=AF,易證△FAE≌△BAE,即EF=EB.
(2)連接EC,由于△ADF為等邊三角形,可知∠EFA=∠EFD=30度.由△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30度.∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,BE=BA=6.可知∠GEB=30°,由于∠ABC=60°,∠GBE=30°,GE=GB.
因?yàn)辄c(diǎn)G是BC的中點(diǎn),所以EG=CG,即△CEG為等邊三角形,故∠CEG=60°,∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°根據(jù)勾股定理可求出CE、BC的長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵△ADF為等邊三角形,
∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)
∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)
∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)
∵AE為公共邊
∴△FAE≌△BAE(4分)
∴EF=EB(5分)

(2)解:如圖,連接EC.(6分)
∵在等邊三角形△ADF中,
∴FD=FA,精英家教網(wǎng)
∵∠EAD=∠EDA=15°,
∴ED=EA,
∴EF是AD的垂直平分線,則∠EFA=∠EFD=30°.(7分)
由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.
∵∠FAE=∠BAE=75°,
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,
∴BE=BA=6.
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,
∴∠GEB=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠GBE=30°
∴GE=GB.(8分)
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,
∴△CEG為等邊三角形,
∴∠CEG=60°,
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)
∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2
∴CE=2
3
,
∴BC=4
3
(10分);

解法二:過(guò)C作CQ⊥AB于Q,
∵CQ=AB=AD=6,
∵∠ABC=60°,
∴BC=6÷
3
2
=4
3
點(diǎn)評(píng):本題比較復(fù)雜,考查面較廣,涉及到等腰三角形,等邊三角形,勾股定理需同學(xué)們熟練掌握.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn),AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點(diǎn)F,連接AF、BF.
(1)求證:AD=BE;
(2)試判斷△ABF的形狀,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2.
(1)求證:BC=CD;
(2)在邊AB上找點(diǎn)E,連接CE,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF.連接EF,如果EF∥BC,試畫(huà)出符合條件的大致圖形,并求出AE:EB的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•深圳二模)如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60°.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)若EF=6,求梯形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點(diǎn),AD=3cm,BC=5cm.求⊙O的面積.

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