【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接EN、AMCM,

1)求證:AMB≌△ENB;

2)當M點在何處時,AM +CM的值最小,并說明理由;

3)當M點在何處時,AM +BM +CM的值最小,并說明理由;

【答案】(1)證明見解析;(2)當M點落在BD的中點時,AM、C三點共線時,AM+CM的值最;(3)當M點位于BDCE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.

【解析】

1)由題意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易證出△AMB≌△ENB
2)根據(jù)兩點之間線段最短,可得,當M點落在BD的中點時,AM+CM的值最;
3)根據(jù)兩點之間線段最短,當M點位于BDCE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(如圖);

解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,

ABBCBE,∠ABE60°,

∵將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,

BNBM,∠MBN60°

∴∠ABE=∠MBN,

∴∠EBN=∠ABM,且ABBE,MBNB,

∴△AMB≌△ENBSAS);

(2)M點落在BD的中點時,A、MC三點共線時,AM+CM的值最小;

(3)如圖1,連接CE,當M點位于BDCE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,

理由如下:連接MN,

由(1)知,△AMB≌△ENB,

AMEN,

∵∠MBN60°MBNB,

∴△BMN是等邊三角形,

BMMN,

AM+BM+CMEN+MN+CM

根據(jù)兩點之間線段最短,得EN+MN+CMEC最短,

∴當M點位于BDCE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.

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