Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點，線段MN運動的時間為ts．

（1）若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；
（2）線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t的值；若不可能，說明理由；
（3）t為何值時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當點P在AC上時，∵AM=t，∴PM=AMtan60°= t．

∴y= t t= t2（0≤t≤1）．

當點P在BC上時，PM=BMtan30°= （4﹣t）．

y= t （4﹣t）=﹣ t2+ t（1≤t≤3）

（2）

解：∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．

∴QN=BNtan30°= （3﹣t）．

由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即 t= （3﹣t），

∴t= ．∴當t= s時，四邊形MNQP為矩形

（3）

解：由（2）知，當t= s時，四邊形MNQP為矩形，此時PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

除此之外，當∠CPQ=∠B=30°時，△QPC∽△ABC，此時 =tan30°= ．

∵ =cos60°= ，

∴AP=2AM=2t．

∴CP=2﹣2t．

∵ =cos30°= ，

∴BQ= （3﹣t）．

又∵BC=2 ，

∴CQ=2 ．

∴ ， ．

∴當 s或 s時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似

【解析】（1）分兩種情況，點P可以在AC上時和當點P在BC上時，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再用S△APM= AMPM得出y與t的函數(shù)關(guān)系式，（2）當PM=QN時，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質(zhì)，求得相對應的t的值．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)關(guān)系式和矩形的判定方法，掌握用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．