Question

【題目】已知拋物線C1：y=x2+2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C2：y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2）．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線C1于點(diǎn)M，交拋物線C2于點(diǎn)N．
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=x2+2x﹣3中，令y=0可得0=x2+2x﹣3，解得x=﹣3或x=1，令x=0可得y=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），

設(shè)拋物線C2的解析式為y=ax2+bx+c，

把B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴拋物線C2的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：設(shè)P（x，0）（﹣3＜x＜1），則M（x，x2+2x﹣3），N（x，﹣ x2﹣ x+2），

①∵點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，

∴MN=﹣ x2﹣ x+2﹣（x2+2x﹣3）=﹣ x2﹣ x+5，

∴S四邊形AMBN= ABMN= ×4（﹣ x2﹣ x+5）=﹣3x2﹣7x+10=﹣3（x+ ）2+ ，

∵﹣3＜0，

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，S四邊形AMBN有最大值，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，0）；

②分CM和DN平行和不平行兩種情況，

當(dāng)CM與DN不平行時(shí)，如圖1，作MF⊥CD于F，NG⊥CD于G，

在Rt△MFC和Rt△NGD中

∴Rt△MFC≌Rt△NGD（HL），

∴FC=GD，

∴PM﹣PN=FO﹣OG=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴﹣x2﹣2x+3﹣（﹣ x2﹣ x+2）=1，解得x=﹣1或x=0（舍去），

∴P（﹣1，0）；

當(dāng)CM∥DN時(shí)，如圖2，

則四邊形MNDC為平行四邊形，

∴MN=CD=2+3=5，

∴﹣ x2﹣ x+5=5，解得x=0（舍去）或x=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣ ，0）

【解析】（1）可先求得A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線C2的解析式；（2）可設(shè)P（x，0），①則可表示出M、N的坐標(biāo)，可表示出MN的長(zhǎng)，從而可用x表示出四邊形AMBN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)其取最大值時(shí)x的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②分CM和DN平行和不平行兩種情況，分別構(gòu)造全等三角形可得到關(guān)于x的方程，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。蝗绻�自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．