Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點.

（1）求證：① ∠1=∠2；② EC⊥MC.

（2）試問當∠1等于多少度時，△ECG為等腰三角形？請說明理由.

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）當∠1=30°時，△ECG為等腰三角形. 理由見解析.

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得然后利用邊角邊定理證明≌再根據(jù)全等三角形對應角相等即可證明；
②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得 再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得然后據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到，所以 然后根據(jù)即可證明 從而得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合等腰三角形兩底角相等 然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式進行計算即可求解．

試題解析：(1)證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，

在△ADE與△CDE,

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2，

②∵AD∥BG(正方形的對邊平行)，

∴∠1=∠G，

∵M是FG的中點，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCG，

∵

∴

∴EC⊥MC；

（2）當∠1=30°時， 為等腰三角形. 理由如下：

∵要使為等腰三角形，必有

∴

∵

∴

∴

∴∠1=30°.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和點A，點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連結(jié)BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形.

（1）① 直接寫出A、C兩點的坐標；② 求這條拋物線的函數(shù)關系式；

（2）設該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得△PBM是以BM為底邊的等腰三角形并求出此時點P的坐標；

（3）經(jīng)過點M的直線把□ OACB的面積分為1:3兩部分，求這條直線的函數(shù)關系式.

Answer 1

【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的拋物線函數(shù)關系式為；（2）點P的坐標為(,1).

（3）所求直線為：x=2或y=x

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，得出A點坐標為(4,0)，進而得出AO的長，即可得出BC=AO，求出C點坐標即可；
②根據(jù)三點坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求出所在解析式，進而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，求出即可；
（3）由條件可知經(jīng)過點M且把OACB的面積分為1:3兩部分的直線有兩條，分別得出即可．

試題解析：(1)①∵點B(2,3)是該拋物線對稱軸上一點，

∴A點坐標為(4,0)，

∵四邊形OACB是平行四邊形，

∴BC=AO，

∴C點坐標為：(6,3)，

②設所求的拋物線為 則依題意，得

,

解得：

∴所求的拋物線函數(shù)關系式為：

(2)設線段AC所在的直線的函數(shù)關系式為 根據(jù)題意，得

解得：

∴直線AC的函數(shù)關系式為：

∵

∴拋物線的頂點坐標M為(2,1)，

∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，

而BM=4,所以P點的縱坐標為1,把y=1代入中,得

∴點P的坐標為

(3)平行四邊形的中心對稱性可以得到經(jīng)過點M且把的面積分為1:3兩部分的直線有兩條,

(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面積

∴直線x=2為所求,

(ⅱ)設符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點

則

∴四邊形ACFE的面積

即

∵BC∥x軸，

∴△MDE∽△MBF，

∴

∴

即

∴

∴

設直線ME的函數(shù)關系式為 則

解得：

∴直線ME的函數(shù)關系式為

綜合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直線為：x=2或