Question

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．以BD為直徑作圓O，交邊AB于點(diǎn)P，連接PC，交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：AD是圓O的切線；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：

PE

CE

=

1

2

；
（3）如圖2，當(dāng)PC是圓O的切線，E為AD中點(diǎn)，BC=8，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明AD是圓O的切線，只要證明∠BDA=90°即可；
（2）連接PD、PO，根據(jù)直徑上的圓周角是直角可得PD∥AC，所以得△PBD是等腰三角形，則OD=

1

2

BD，又由已知得OD=

1

2

BD=

1

2

DC，由平行線分線段成比例得

PE

CE

=

1

2

；
（3）連接OP，根據(jù)三角函數(shù)可求得PC，CD的長(zhǎng)，再在RT△ADE中利用三角函數(shù)求得DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BD．
又∵BD是圓O直徑，
∴AD是圓O的切線．

（2）證明：連接PD、PO，
∴PD∥AC，
已知△ABC中，AB=AC，∴BD=DC，
∴PB=PD，
∴OD=OB=

1

2

BD=

1

2

DC，
∴PE=

1

2

CE，
∴

PE

CE

=

1

2

；

（3）解：連接OP，
由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，
∵PC是圓O的切線，O為圓心，
∴∠OPC=90°．∴由勾股定理，得PC=4

2

，
在△OPC中，tan∠OCP=

OP

CP

=

2

4

，
在△DEC中，tan∠DCE=

DE

DC

=

2

4

，DE=DC•

2

4

=

2

．
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AD=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)切線的判定及綜合解直角三角形的能力．