Question

【題目】閱讀材料，回答問(wèn)題
在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CF⊥DE，F(xiàn)為垂足．

（1）△CDF與△DEA是否相似？說(shuō)明理由；
（2）求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，AB∥CD，

∴∠CDF=∠DEA．

又CF⊥DE，

∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，

因而，△ADE∽△FCD

（2）解：由題意知，AD=CD=1，AE= ．

在直角△DEA中，有DE= = = ．

由（1）可得： = ，則CF= =

【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)，由兩角法證明△ADE∽△FCD；
（2）根據(jù)勾股定理及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．