Question

【題目】在平面上，對(duì)于給定的線段AB和點(diǎn)C，若平面上的點(diǎn)P（可以與點(diǎn)C重合）滿足，∠APB＝∠ACB．則稱點(diǎn)P為點(diǎn)C關(guān)于直線AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．

（1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三個(gè)點(diǎn)中，是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)的是　 　．

（2）若點(diǎn)P既是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，同時(shí)又是點(diǎn)B關(guān)于線段OA的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（3）直線y＝x+b（b＞0）與x軸，y軸分交于點(diǎn)M，N，若在線段BC上存在點(diǎn)N關(guān)于線段OM的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1，R．（2）1﹣≤m≤1+；（3）1≤b≤2．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P為點(diǎn)C關(guān)于直線AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)的定義一一判斷即可．

（2）如圖2中，作△AOB的外接圓⊙E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交⊙E于G，H．首先說明當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，點(diǎn)P既是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，同時(shí)又是點(diǎn)B關(guān)于線段OA的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，求出G，H的坐標(biāo)即可解決問題．

（3）如圖3中，作△MON的外接圓⊙E，作點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，以E′為圓心，OE′為半徑作⊙E′．觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)P在兩個(gè)圓的優(yōu)弧OM上，當(dāng)⊙E與AB相切時(shí)，切點(diǎn)為H，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)即可判斷．

解：（1）如圖1中，

∵A（2，0），B（0，2），P1（2，2），P（1，0），R（1+，1），

∴OA＝OB＝AP1＝BP1，

∴四邊形OAP1B是菱形，

∵∠AOB＝90°，

∴四邊形OAP1B是正方形，

∴∠AP1B＝∠AOB＝90°，

∴P1是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，

∵AB＝2，取AB的中點(diǎn)E（1，1），

∵ER＝＝BE＝AE，

∴∠ARB＝90°＝∠AOB，

∴點(diǎn)R是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，

故答案為P1，R．

（2）如圖2中，作△AOB的外接圓⊙E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交⊙E于G，H．

∵∠APB＝∠AOB＝90°，∠APO＝∠ABO＝45°，

∴當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，點(diǎn)P既是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，同時(shí)又是點(diǎn)B關(guān)于線段OA的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，

∵AB＝2，E（1，1），G（1﹣，1），H（1+，1）

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍1﹣≤m≤1+．

（3）如圖3中，作△MON的外接圓⊙E，作點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，以E′為圓心，OE′為半徑作⊙E′．

觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)P在兩個(gè)圓的優(yōu)弧OM上，

當(dāng)⊙E與AB相切時(shí)，切點(diǎn)為H，由題意⊙E的直徑為，

∴MN＝，

∵OM＝ON，∠MON＝90°，

∴ON＝1，此時(shí)直線MN的解析式為y＝x+1，

觀察圖象可知：若在線段BC上存在點(diǎn)N關(guān)于線段OM的聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，則b的取值范圍為1≤b≤2.