Question

【題目】如圖，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦，過點B作BC∥AD，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D，連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP＝∠ACD．

（1）求證：∠BAP＝∠CAP；

（2）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若AB＝5，BC＝10，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC與圓O相切，理由見解析；（3）

【解析】

（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=5，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM的長度，設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=5-r，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計算出r=3，由CE=2r，利用中位線性質(zhì)得BE的長度，然后判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據(jù)相似比可計算出PC．

（1）證明：∵AD是⊙O的切線，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴OA⊥BC，

∴弧BE＝弧CF，

∴∠BAP＝∠CAP；

（2）PC與圓O相切，理由為：

過C點作直徑CE，連接EB，如圖，

∵CE為直徑，

∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．

∴∠E＝∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，

∴CE⊥PC，

∴PC與圓O相切；

（2）∵AD是⊙O的切線，切點為A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM＝CM＝BC＝5，

∴AC＝AB＝5，

在Rt△AMC中，AM＝＝5，

設⊙O的半徑為r，則OC＝r，OM＝AM﹣r＝5﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即+52＝r2，

解得：r＝3；

∴CE＝2r＝6，OM＝5﹣r＝2，

∴BE＝2OM＝4，

∵∠E＝∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴＝，

即＝，

∴PC＝．