【題目】閱讀下面的材料:
解方程x4–7x2+12=0,這是一個一元四次方程,根據(jù)該方程的特點,它的解法通常是:
設(shè)x2=y,則x4=y2.
∴原方程可化為y2–7y+12=0.
∴a=1,b=–7,c=12.
∴△=b2–4ac=(–7)2–4×1×12=1.
∴y═=–.
解得y1=3,y2=4.
當(dāng)y=3時,x2=3,x=±.
當(dāng)y=4時,x2=4,x=±2.
∴原方程有四個根是:x1=,x2=–,x3=2,x4=–2.
以上方法叫換元法,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,運用上述方法解答下列問題.
(1)解方程:(x2+x)2–5(x2+x)+4=0;
(2)已知實數(shù)a,b滿足(a2+b2)2–3(a2+b2)–10=0,試求a2+b2的值.
【答案】(1)x1=,x2=,x3=,x4=;);(2)a2+b2=5.
【解析】
(1)設(shè)y=x2+x,則由已知方程得到:y2-5y+4=0,利用因式分解法求得該方程的解,然后解關(guān)于x的一元二次方程即可;
(2)設(shè)x=a2+b2,則由已知方程得到:x2-3x-10=0,利用因式分解法求得該方程的解,然后解關(guān)于x的一元二次方程即可.
(1)設(shè)y=x2+x,則y2–5y+4=0,
整理,得(y–1)(y–4)=0,解得y1=1,y2=4,
當(dāng)x2+x=1即x2+x–1=0時,解得x=;
當(dāng)x2+x=4即x2+x–4=0時,解得x=;
綜上所述,原方程的解為:x1=,x2=,x3=,x4=;
(2)設(shè)x=a2+b2,則x2–3x–10=0,
整理,得(x–5)(x+2)=0,
解得x1=5,x2=–2(舍去),
故a2+b2=5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某商品的進(jìn)價為每件40元.現(xiàn)在的售價是每件60元.每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映:如調(diào)整價格,每漲價一元.每星期要少賣出10件;每降價一元,每星期可多賣出18件.如何定價才能使利潤最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足 關(guān)系時,仍有EF=BE+FD;請證明你的結(jié)論.
【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于給定的兩個函數(shù),任取自變量x的一個值,當(dāng)x<1時,它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù):當(dāng)x≥1時,它們對應(yīng)的函數(shù)值相等,我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù),例如:一次函數(shù)y=x﹣4,它的相關(guān)函數(shù)為
(1)一次函數(shù)y=﹣x+5的相關(guān)函數(shù)為 .
(2)已知點A(b﹣1,4),點B坐標(biāo)(b+3,4),函數(shù)y=3x﹣2的相關(guān)函數(shù)與線段AB有且只有一個交點,求b的取值范圍;
(3)當(dāng)b+1≤x≤b+2時,函數(shù)y=﹣3x+b2的相關(guān)函數(shù)的最小值為﹣3,求b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線PA是一次函數(shù)的圖象,直線PB是一次函數(shù)的圖象,點P是兩直線的交點,點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點.若四邊形PQOB的面積是5.5,且,若存在一點D,使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形,則點D的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1,點C1的坐標(biāo)是 ;
(2)以點B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點C2的坐標(biāo)是 ;
(3)△A2B2C2的面積是 平方單位.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線經(jīng)過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C,若拋物線與線段BC恰有一個公共點,則的取值范圍是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實驗,把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個正方形.
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認(rèn)為他的說法正確嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC各頂點坐標(biāo)分別為A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0),
①畫出它的以原點O為對稱中心的△A'B'C';
②在y軸上有一點P,使BP+C'P最小,求出P點坐標(biāo).
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