【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,過二次函數(shù)y=﹣x2+4x圖象上的點A3,3)作x軸的垂線交x軸于點B

1)如圖1,P為線段OA上方拋物線上的一點,在x軸上取點C1,0),點M、Ny軸上的兩個動點,點M在點N的上方且MN1.連接AC,當四邊形PACO的面積最大時,求PM+MNNO的最小值.

2)如圖2,點Q31)在線段AB上,作射線CQ,將AQC沿直線AB翻折,C點的對應點為C',將AQC'沿射線CQ平移3個單位得A'Q'C,在射線CQ上取一點M,使得以A'、M、C為頂點的三角形是等腰三角形,求M點的坐標.

【答案】1)最小值為;(2)點M坐標為(7,3),(),(,),(13,6),(10,

【解析】

1)把四邊形PACO沿OA分成OAPOAC,由于OAC三邊確定,面積為定值,故OAP面積最大時四邊形面積也最大.過點Px軸垂線交OAD,設點P橫坐標為t,則能用t表示PD的長,進而得到OAP關于t的二次函數(shù)關系式,用公式法可求得tOAP面積最大,即求得此時點P坐標.把點P向下平移1個單位得P',易證四邊形MNP'P是平行四邊形,所以PMP'N.過點O作經(jīng)過第二、四象限的直線l,并使直線lx軸夾角為60°,過點NNG⊥直線l于點G,則由30°角所對直角邊等于斜邊一半可知NGNO.所以PM+MNNO可轉化為P'N+NG+1,易得當點P'、N、G在同一直線上最。PD延長交直線l于點F,構造特殊RtP'FGRtOEF,利用點P坐標和30°60°的三角函數(shù)即可求得P'G的長.

2)由點B、C、Q的坐標求CQ的長和點C'坐標;過點Q'x軸的垂線段Q'H,易證CBQ∽△CHQ',故有,求得CH、HQ'的長即求得點Q'坐標,進而得到向右向上平移的距離,求得點A'、C'的坐標.求直線CQ解析式,設CQ上的點M橫坐標為m,用兩點間距離公式可得用m表示A'MC'M的長.因為A'MC'是等腰三角形,分三種情況討論,得到關于m的方程,求解即求得相應的m的值,進而得點M坐標.

1)如圖1,過點O作直線l,使直線l經(jīng)過第二、四象限且與x軸夾角為60°;

過點PPFx軸于點E,交OA于點D,交直線l于點F;在PF上截取PP'1;過點NNG⊥直線l于點G

A3,3),ABx軸于點B

∴直線OA解析式為yx,OBAB3

C1,0

SAOCOCAB1×3,是定值

Pt,﹣t2+4t)(0t3

Dt,t

PD=﹣t2+4tt=﹣t2+3t

SOAPSOPD+SAPDPDOEPDBEPDOBt23t

t時,SOAP最大

此時,S四邊形PACOSAOC+SOAP最大

yP=﹣(2+3

P,

P'EPEPP'1,即P'

∵點M、Ny軸上且MN1

PP'MN,PP'MN

∴四邊形MNP'P是平行四邊形

PMP'N

∵∠NGO90°,∠NOG90°60°30°

RtONG中,NGNO

PM+MNNOP'N+NG+1

∴當點P'、NG在同一直線上,即P'G⊥直線l時,PM+MNNOP'G+1最小

OE,∠EOF60°,∠OEF90°

RtOEF中,∠OFE30°,tanEOF

EFOE

P'FP'E+EF

RtP'GF中,P'GP'F

P'G+11

PM+MNNO的最小值為

2)延長A'Q'x軸于點H

C1,0),Q3,1),QBx軸于點B

CB2BQ1

CQ

∵△AQC沿直線AB翻折得AQC'

B3,0)是CC'的中點

C'5,0

∵平移距離QQ'3

CQ'CQ+QQ'4

QBQ'H

∴△CBQ∽△CHQ'

CH4CB8,yQ'HQ'4BQ4

xQ'OC+CH1+89

Q'9,4

∴點Q31)向右平移6個單位,向上平移3個單位得到點Q'9,4

A'96),C'113

A'C'

設直線CQ解析式為ykx+b

解得:

∴直線CQyx

設射線CQ上的點Mm,m)(m1

A'M2=(9m2+6m2=(9m2+m2

C'M2=(11m2+3m2=(11m2+m2

∵△A'MC'是等腰三角形

①若A'MA'C',則(9m2+m213

解得:m17,m2

M73)或(,

②若C'MA'C',則(11m2+m213

解得:m1,m213

M)或(13,6

③若A'MC'M,則(9m2+m2=(11m2+m2

解得:m10

M10,

綜上所述,點M坐標為(7,3),(),(,),(13,6),(10).

練習冊系列答案
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【題目】平面直角坐標系中,點O是坐標原點,拋物線yax2+x+cx軸交于A、B兩點,點B的坐標為(4,0),與y軸交于點C,直線ykx+2經(jīng)過A、C兩點.

1)如圖1,求a、c的值;

2)如圖2,點P為拋物線yax2+x+c在第一象限的圖象上一點,連接AP、CP,設點P的橫坐標為t,△ACP的面積為S,求St的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量t的取值范圍;

3)在(2)的條件下,點D為線段AC上一點,直線OD與直線BC交于點E,點F是直線OD上一點,連接BP、BF、PF、PD,BFBP,∠FBP90°,若OE,求直線PD的解析式.

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1)當t=1時,求直線l的解析式.

2)若直線l與線段BM有公共點,求t的取值范圍.

3)當點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上時,求t的值.

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【題目】中考將近,同學們需要花更多的時間來進行自我反思和總結,消化白天的學習內(nèi)容,提高學習效率.因此,每個班都在積極地進行自我調整.我校A班和B班的同學也積極響應號召,調查了本班的自習情況以供老師參考.

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18 11 22 25 25 18 27 25 22 27

B班的同學采取的普查方式,讓每位同學自己寫出平均每天的自主復習時間,將數(shù)據(jù)收集整理后得到以下數(shù)據(jù):

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

極差

方差

22

23

30

30

59.7

B班的同學還將自主復習時間分為四大類:第一類為時間小于10分鐘以下;第二類為時間大于或等于10分鐘且小于20分鐘;第三類為時間大于或等于20分鐘且小于30分鐘;第四類為時間大于或等于30分鐘,并得到如下的扇形圖.

1)在扇形圖中,第一類所對的圓心角度數(shù)為   

2)寫出A班被調查同學的以下特征數(shù).

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

極差

方差

22

25

16

3)從上面的數(shù)據(jù),我們可以得到   班的自主復習情況要好一些.其理由為(至少兩條):   

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