Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是邊AC的中點，CE⊥BD于E．若F是邊AB上的點，且使△AEF為等腰三角形，則AF的長為_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

由相似三角形的性質(zhì)可求AH的長，BH的長，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．

解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴AB＝

∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，

∴△CDE∽△BDC，

∴CD2＝DEDB，

∵AD＝CD，

∴AD2＝DEDB，

∴，

∵∠ADE∠ADB，

△DAE∽△DBA；

∴，

∴AE＝，

∵DE＝，BD＝，

∴BE＝，

如圖1中，若AE＝AF時，

∴AF＝；

如圖2中，若FE＝AE時，過點E作EJ⊥AB于J，

∵JE2＝AE2﹣AJ2＝EB2﹣BJ2，

∴﹣AJ2＝﹣（2﹣AJ）2，

∴AJ＝，

∵AE＝EF，EJ⊥AF，

∴AF＝2AJ＝，

如圖3中，若EF＝AF時，過點E作EJ⊥AB于J，

∵EJ2＝AE2﹣AJ2＝EF2﹣FJ2，

∴﹣＝AF2﹣（﹣AF）2，

∴AF＝，

綜上所述：AD的長為或或．

故答案為：或或．