Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第二象限，且∠AOB=135°，OA=2，OB=2，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，并與y軸交于點(diǎn)C（0，5），點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．

（1）求b、c的值，及拋物線的對(duì)稱軸．

（2）求證：以點(diǎn)M（2，5）為圓心，半徑為2的圓與邊AB相切．

（3）若滿足條件∠AOB+∠POD=180°與OB：OD=OA：OP的點(diǎn)D恰好在拋物線上，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）1，5，；（2）見解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）或（2，﹣8）或（2，4）．

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．解直角三角形求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2中，作MJ⊥AB于點(diǎn)J．求出直線AB，MJ的解析式，發(fā)現(xiàn)這兩條直線的交點(diǎn)J在y軸上，求出MJ與半徑比較即可解決問(wèn)題．

（3）由題意∠POD=45°，OD：OP=OB：OA=，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥OP，且PD=PD′=OP，連接OD，OD′，則點(diǎn)D和點(diǎn)D′滿足條件，設(shè)P（2，m），則D（2﹣m，m+2），D′（2+m，m﹣2），利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出m即可解決問(wèn)題．

（1）解：如圖1中，作BH⊥x軸于H．

∵∠AOB=135°，

∴∠BOH=45°，

∵∠OHB=90°，OB=2，

∴BH=OH=2，

∴B（﹣2，2），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，并與y軸交于點(diǎn)C（0，5），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+5，

∴拋物線的對(duì)稱軸x=﹣=2．

（2）證明：如圖2中，作MJ⊥AB于J．

∵A（2，0），B（﹣2，2），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，

∵M（2，5），MJ⊥AB，

∴直線MJ的解析式為y=2x+1，

∵直線AB交y軸于（0，1），直線MJ交y軸于（0，1），

∴J（0，1），

∴MJ==2，

∵⊙M的半徑為2，

∴MJ=r，

∴⊙M與直線AB相切．

（3）解：∵∠AOB+∠POD=180°，∠AOB=135°，

∴∠POD=45°

∵OB：OD=OA：OP，

∴OD：OP=OB：OA=，

過(guò)點(diǎn)P作DP⊥OP，且PD=PD′=OP，連接OD，OD′，則點(diǎn)D和點(diǎn)D′滿足條件，

設(shè)P（2，m），則D（2﹣m，m+2），D′（2+m，m﹣2），

當(dāng)D（2﹣m，m+2）在y=﹣x2+x+5上時(shí)，m+2=﹣（2﹣m）2+2﹣m+5，

解得m=﹣2±2，

此時(shí)P（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2），

當(dāng)D′（2+m．m﹣2）在y=﹣x2+x+5時(shí)，m﹣2=﹣（2+m）2+2+m+5，

解得m=﹣8或4．

此時(shí)P（2，﹣8）或（2，4），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）或（2，﹣8）或（2，4）．