Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，E是BC上的一點，且BE＝BF，連接DE．

（1）求證：△DAF≌△DCE．

（2）求證：DE是⊙O的切線．

（3）若BF＝2，DH＝，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）20.

【解析】

（1）連接DF，結合菱形的性質利用SAS可證△DAF≌△DCE；

（2）由直徑所對的圓周角是直角可知∠DFA=90°，由全等的性質與平行的性質可得∠ADE=90°，根據切線的判定定理可得結論；

（3）連接AH，由等腰三角形三線合一的性質可得DB=2DH，根據勾股定理可得AD、AF、DF長，易得四邊形ABCD的面積．

（1）證明：如圖，連接DF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，

∵BF＝BE，

∴AB﹣BF＝BC﹣BE，

即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS）；

（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，則∠DFA＝∠DEC．

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：如圖，連接AH，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AHD＝∠DFA＝90°，

∴∠DFB＝90°，

∵AD＝AB，DH＝，

∴DB＝2DH＝2，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，

∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2）2﹣22，

∴AD＝5．

∴AH＝＝＝2，

∴S四邊形ABCD＝2S△ABD＝2×AH＝BDAH＝2×2＝20．即四邊形ABCD的面積是20，

故答案為：20．