【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;

(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2),);(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為.

【解析】

(1)已知二次函數(shù)上兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式。

(2)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PQ的長(zhǎng),根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.

解:(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

解得,

二次函數(shù)的解析是為y=﹣x2+2x+3;

(2)若四邊形POP′C為菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上,

如圖1,連接PP′,則PE⊥CO,垂足為E,

∵C(0,3),

∴E(0,),

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo),

當(dāng)y=時(shí),即﹣x2+2x+3=,

解得x1=,x2=(不合題意,舍),

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為();

(3)如圖2,

P在拋物線上,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

,

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.

當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,

解得x1=﹣1,x2=3,

OA=1,

AB=3﹣(﹣1)=4,

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+(﹣m2+3m)×3

=﹣(m﹣2+,

當(dāng)m=時(shí),四邊形ABPC的面積最大.

當(dāng)m=時(shí),﹣m2+2m+3=,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為

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(1)求該函數(shù)的解析式;

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【題目】我們定義:兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱軸相同,且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)例如:的友好同軸二次函數(shù)為

請(qǐng)你分別寫出,的友好同軸二次函數(shù);

滿足什么條件的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)?滿足什么條件的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身?

如圖,二次函數(shù)與其友好同軸二次函數(shù)都與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B、C分別在上,點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)均為,它們關(guān)于的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為,,連結(jié),,,CB.

,且四邊形為正方形,求m的值;

,且四邊形的鄰邊之比為1:2,直接寫出a的值.

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【題目】如圖,拋物線L1:y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(5,0)已知直線l的解析式為y=kx﹣5.

(1)求拋物線L1的解析式、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若直線l將線段AB分成1:3兩部分,求k的值;

(3)當(dāng)k=2時(shí),直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線位于直線上方的一點(diǎn),當(dāng)PMN面積最大時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo),并求面積的最大值.

(4)將拋物線L1在x軸上方的部分沿x軸折疊到x軸下方,將這部分圖象與原拋物線剩余的部分組成的新圖象記為L(zhǎng)2

直接寫出y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍;

直接寫出直線l與圖象L2有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍.

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材料二:若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字,十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字均不為0,則稱之為初始數(shù),比如123就是一個(gè)初始數(shù),將初始數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字交換順序,可產(chǎn)生出5個(gè)新的初始數(shù),比如由123可以產(chǎn)生出132213,231312,3215個(gè)新初始數(shù),這6個(gè)初始數(shù)的和成為終止數(shù).

1)求初始數(shù)125生成的終止數(shù);

2)若一個(gè)初始數(shù),滿足,且,記,,若,求滿足條件的初始數(shù)的值.

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1)點(diǎn)的坐標(biāo)是______;

2)當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是______(用表示);

3)求的面積之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍.

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