Question

【題目】如圖，是的直徑，，為弧的中點，正方形繞點旋轉(zhuǎn)與的兩邊分別交于、（點、與點、、均不重合），與分別交于、兩點.

（1）求證：為等腰直角三角形；

（2）求證：；

（3）連接，試探究：在正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AMB=90°，由M是弧AB的中點得，于是可判斷△AMB為等腰直角三角形；

（2）連接OM,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，則可根據(jù)“SAS”判斷△OBE≌△OMF，所以OE=OF；

（3）易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+MB=OE+4，根據(jù)垂線段最短得當OE⊥BM時，OE最小，此時OE=BM=2，進而求得△EFM的周長的最小值．

（1）證明：是的直徑，

．

是弧的中點，

．

，

為等腰直角三角形．

（2）證明：連接，

由（1）得：．

，

．

，

，

．

在和中，

，

．

．

（3）解：的周長有最小值．

，

為等腰直角三角形，

，

，

．

的周長．

當時，最小，此時,

的周長的最小值為．