【題目】先閱讀下列材料,然后解決后面的問題.
材料:一個三位數(shù)(百位數(shù)為a,十位數(shù)為b,個位數(shù)為c),若a+c=b,則稱這個三整數(shù)為“協(xié)和數(shù)”,同時規(guī)定c=(k≠0),k稱為“協(xié)和系數(shù)”,如264,因為它的百位上數(shù)字2與個位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字6,所有264是“協(xié)和數(shù)”,則“協(xié)和數(shù)”k=2×4=8.
(1)對于“協(xié)和數(shù)”,求證:“協(xié)和數(shù)”能被11整除.
(2)已知有兩個十位數(shù)相同的“協(xié)和數(shù)”,(a1>a2),且k1﹣k2=1,若y=k1+k2,用含b的式子表示y.
【答案】(1)證明見解析;(2)y==﹣1.
【解析】
(1)根據(jù)協(xié)和數(shù)的定義可得出a+c=b,由=100a+10b+c可得出=99a+11b,可證出“協(xié)和數(shù)”能被11整除;
(2)由已知可得k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1(b﹣a1)﹣a2(b﹣a2)=(a1﹣a2)(b﹣a1﹣a2)=1,a1、a2、b均為整數(shù),故a1﹣a2=1,b﹣a1﹣a2=1,可得a1+a2=b﹣1,所以a12﹣2a1a2+a22=1①,a12+2a1a2+a22=(b﹣1)2②,由①+②得:=,所以
y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1(b﹣a1)+a2(b﹣a2)=b(a1+a2)﹣()=b(b﹣1)﹣.
(1)證明:∵為“協(xié)和數(shù)”,
∴a+c=b,
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b=11(9a+b),
∵a是整數(shù),b是整數(shù),
∴9a+b是整數(shù),
∴“協(xié)和數(shù)”能被11整除;
(2)∵k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1(b﹣a1)﹣a2(b﹣a2)=(a1﹣a2)(b﹣a1﹣a2)=1,a1、a2、b均為整數(shù),
∴a1﹣a2=1,b﹣a1﹣a2=1,
∴a1+a2=b﹣1,
∴a12﹣2a1a2+a22=1①,a12+2a1a2+a22=(b﹣1)2②,
①+②得:=,/p>
y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1(b﹣a1)+a2(b﹣a2)=+=b(a1+a2)﹣()=b(b﹣1)﹣=﹣1.
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【題目】已知中,記,.
(1)如圖,若平分,、分別是的外角和的平分線,,用含的代數(shù)式表示的度數(shù),用含的代數(shù)式表示的度數(shù),并說明理由.
(2)如圖,若點 為的三條內(nèi)角平分線的交點,于點 , 猜想(1)中的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化,補全圖形并直接寫出你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在ABCD中,∠ACB=45°,點E在對角線AC上,BE=BA,BF⊥AC于點F,BF的延長線交AD于點G.點H在BC的延長線上,且CH=AG,連接EH.
(1)若BC=12,AB=13,求AF的長;
(2)求證:EB=EH.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,點D在邊AB上,BE∥CD,AE⊥CD,垂足為F,且EF=2,點G在線段CF上,若∠GAF=45°,則△ACG的面積為_____.
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【題目】若點在數(shù)軸上分別表示實數(shù),則兩點之間的距離表示為,回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示2和5的點之間的距離是_________;數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是___________;
(2)數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是_______;如果,那么______;
(3)的最小值為_______,相應(yīng)的取值范圍是___________;
(4)已知,則的最大值為_______,最小值為________.
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【題目】如圖,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點O,∠CAB=500,∠C=600,求∠DAE和∠BOA的度數(shù)。
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【題目】銳銳參加我市電視臺組織的“牡丹杯”智力競答節(jié)目,答對最后兩道單選題就順利通關(guān),第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題銳銳都不會,不過銳銳還有兩個“求助”可以用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用,那么銳銳通關(guān)的概率是________;
(2)如果銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用,那么銳銳通關(guān)的概率是________;
(3)如果銳銳每道題各用一次“求助”,請用樹狀圖或者列表來分析他順利通關(guān)的概率.
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【題目】某小型企業(yè)實行工資與業(yè)績掛鉤制度,工人工資分為A、B、C、D四個檔次.小明對該企業(yè)三月份工人工資進行調(diào)查,并根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖.
根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)求該企業(yè)共有多少人?
(2)請將統(tǒng)計表補充完整;
(3)扇形統(tǒng)計圖中“C檔次”的扇形所對的圓心角是 度.
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