Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有兩個實數(shù)根x1 ， x2 ．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，解得

（2）解：由 ，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：

代入得： ，

化簡得： ，

得 .

由于 的取值范圍為 ，

故不存在k使 。

【解析】（1）根據(jù)題意可知原方程有兩個實數(shù)根，得出b2-4ac≥0，列不等式求解即可。
（2）先將x1·x2－x12－x22轉(zhuǎn)化為 3x1x2（x1+x2）2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2和x1x2，然后代入建立關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，即可得出結(jié)果。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商．