【題目】如圖,與均為等腰直角三角形,
(1)如圖1,點在上,點與重合,為線段的中點,則線段與的數(shù)量關系是 ,與的位置是 .
(2)如圖2,在圖1的基礎上,將繞點順時針旋轉到如圖2的位置,其中在一條直線上,為線段的中點,則線段與是否存在某種確定的數(shù)量關系和位置關系?證明你的結論.
(3)若繞點旋轉任意一個角度到如圖3的位置,為線段的中點,連接、,請你完成圖3,猜想線段與的關系,并證明你的結論.
【答案】(1)EF=FC,EF⊥FC;(2)EF=FC,EF⊥FC,證明見解析;(3)EF=FC,EF⊥FC,證明見解析;
【解析】
(1)根據(jù)已知得出△EFC是等腰直角三角形即可.
(2)延長線段CF到M,使FM=CF,連接DM、ME、EC,利用SAS證△BFC≌△DFM,進而可以證明△MDE≌△CAE,即可得證;
(3)延長線段CF到M,使FM=CF,連接DM、ME、EC,利用SAS證△BFC≌△DFM,進而可以證明△MDE≌△CAE,即可得證;.
解:(1)∵與均為等腰直角三角形,
∴,
∴BE=EC
∵為線段的中點,
;
故答案為:EF=FC,EF⊥FC
(2)存在EF=FC,EF⊥FC,證明如下:
延長CF到M,使FM=CF,連接DM、ME、EC
∵為線段的中點,
∴DF=FB,
∵FC=FM,∠BFC=∠DFM,DF=FB,
∴△BFC≌△DFM,
∴DM=BC,∠MDB=∠FBC,
∴MD=AC,MD∥BC,
∴∠MDC=∠ACB=90°
∴∠MDE=∠EAC=135°,
∵ED=EA,
∴△MDE≌△CAE(SAS),
∴ME=EC,∠MED=∠CEA,
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°,
∴∠MEC=90°,又F為CM的中點,
∴EF=FC,EF⊥FC;
(3)EF=FC,EF⊥FC.
證明如下:
如圖4,延長CF到M,使CF=FM,連接ME、EC,連接DM交延長交AE于G,交AC于H,
∵F為BD中點,
∴DF=FB,
在△BCF和△DFM中
∴△BFC≌△DFM(SAS),
∴DM=BC,∠MDB=∠FBC,
∴MD=AC,span>HD∥BC,
∴∠AHG=∠BCA=90°,且∠AGH=∠DGE,
∴∠MDE=∠EAC,
在△MDE和△CAE中
∴ME=EC,∠MED=∠CEA,
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°,
∴∠MEC=90°,又F為CM的中點,
∴EF=FC,EF⊥FC.
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【題目】某工廠生產的某種產品按質量分為個檔次,生產第一檔次(即最低檔次)的產品一天生產件,每件利潤元,每提高一個檔次,利潤每件增加元.
(1)每件利潤為元時,此產品質量在第幾檔次?
(2)由于生產工序不同,此產品每提高一個檔次,一天產量減少件.若生產第檔的產品一天的總利潤為元(其中為正整數(shù),且≤≤),求出關于的函數(shù)關系式;若生產某檔次產品一天的總利潤為元,該工廠生產的是第幾檔次的產品?
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【題目】在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,E為邊AC上一點,連接BE.
(1)如圖1,若∠ABE=15°,O為BE中點,連接AO,且AO=1,求BC的長;
(2)如圖2,D為AB上一點,且滿足AE=AD,過點A作AF⊥BE交BC于點F,過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G,交AC于點M,求證:BG=AF+FG.
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【題目】如圖,拋物線y=mx2﹣2mx﹣3m(m>0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點M為拋物線的頂點,且OC=OB.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若拋物線上有一點P,連PC交線段BM于Q點,且S△BPQ=S△CMQ,求P點的坐標.
(3)把拋物線沿x軸正半軸平移n個單位,使平移后的拋物線交直線BC于E、F兩點,且E、F關于點B對稱,求n的值.
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【題目】初三(1)班要從2男2女共4名同學中選人做晨會的升旗手.
(1)若從這4人中隨機選1人,則所選的同學性別為男生的概率是 .
(2)若從這4人中隨機選2人,求這2名同學性別相同的概率.
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【題目】對于實數(shù)a,b,我們可以用min{a,b}表示a,b兩數(shù)中較小的數(shù),例如min{3,-1}=-1,min{2,2}=2. 類似地,若函數(shù)y1、y2都是x的函數(shù),則y=min{y1, y2}表示函數(shù)y1和y2的“取小函數(shù)”.
(1)設y1=x,y2=,則函數(shù)y=min{x, }的圖像應該是 中的實線部分.
(2)請在下圖中用粗實線描出函數(shù)y=min{(x-2)2, (x+2)2}的圖像,并寫出該圖像的三條不同性質:
① ;
② ;
③ ;
(3)函數(shù)y=min{(x-4)2, (x+2)2}的圖像關于 對稱.
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【題目】如圖,分別以△ABC的邊AB,AC向外作兩個等邊三角形△ABD,△ACE.連接BE、CD交點F,連接AF.
(1)求證:△ACD≌△AEB;
(2)求證:AF+BF+CF=CD.
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【題目】某學習小組在研究函數(shù)y=x3﹣2x的圖象與性質時,已列表、描點并畫出了圖象的一部分.
x | … | ﹣4 | ﹣3.5 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | … |
y | … | ﹣ | ﹣ | 0 | ﹣ | ﹣ | ﹣ | … |
(1)請補全函數(shù)圖象;
(2)方程x3﹣2x=﹣2實數(shù)根的個數(shù)為 ;
(3)觀察圖象,寫出該函數(shù)的兩條性質.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=90°,將三角尺的直角頂點P落在∠AOB的平分線OC的任意一點上,使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F。證明:PE=PF。
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