【題目】如圖,拋物線y=mx2﹣2mx﹣3m(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),且OC=OB.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若拋物線上有一點(diǎn)P,連PC交線段BM于Q點(diǎn),且S△BPQ=S△CMQ,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)把拋物線沿x軸正半軸平移n個(gè)單位,使平移后的拋物線交直線BC于E、F兩點(diǎn),且E、F關(guān)于點(diǎn)B對稱,求n的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣3);(3)n=.
【解析】
(1)先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、OB、OC的長,從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可解決問題;
(2)運(yùn)用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為y=x-3,由S△BPQ=S△CMQ可得S△PBC=S△MBC,從而可得MP∥BC,故直線MP的解析式可設(shè)為y=x+n,然后只需求出拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)M的坐標(biāo),就可得到直線MP的解析式為y=x-5,最后求得直線MP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)設(shè)平移后拋物線的解析式:y=(x-1-n)2-4,將y=x-3代入y=(x-1-n)2-4得:x-3=(x-1-n)2-4,從而可得到xE+xF=2n+3,依據(jù)依據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于B對稱可得到2n+3=6,從而可求得n的值.
(1)令y=0,得:mx2﹣2mx﹣3m=0,
∵m>0,
∴x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0)、,B(3,0)、OB=3.
∵OC=OB=3,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,
∴C(0,﹣3),
∴﹣3m=﹣3,
∴m=1,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則有,
解得:,
∴直線BC的解析式為y=x﹣3.
∵S△BPQ=S△CMQ,
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ,
∴S△PBC=S△MBC,
∴MP∥BC,
∴直線MP的解析式可設(shè)為y=x+n.
∵拋物線y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣4),
∴1+n=﹣4,
∴n=﹣5,
∴直線MP的解析式為y=x﹣5.
聯(lián)立,解得:(舍去),或,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣3).
(3)平移后拋物線的解析式:y=(x﹣1﹣n)2﹣4.
將y=x﹣3代入y=(x﹣1﹣n)2﹣4得:x﹣3=(x﹣1﹣n)2﹣4,整理得:x2﹣(2n+3)x+(n+1)2﹣1=0,
∴xE+xF=2n+3.
又∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B對稱,
∴xE+xF=2×3,即2n+3=6,解得:n=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣2m﹣3=0(m為實(shí)數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該方程均有兩個(gè)不等的實(shí)根;
(2)解方程求出兩個(gè)根x1,x2(x1>x2),并求w=x1(x1+x2)+x12的最值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年以來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點(diǎn).為了調(diào)查學(xué)生對霧霾天氣知識(shí)的了解程度,某校在學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級:A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表.
對霧霾了解程度的統(tǒng)計(jì)表:
對霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對應(yīng)的圓心角是 度;
(3)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾知識(shí)競賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個(gè)不透明的袋中,一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,另一人再從剩下的三個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球.若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù),則小明去;否則小剛?cè)ィ堄脴錉顖D或列表法說明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,平分,交于點(diǎn),且,延長與的延長線交于點(diǎn),連接,連接.下列結(jié)論中:①;②是等邊角形:③;④;⑤.其中正確的是( )
A.②③⑤B.①④⑤C.①②③D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A(0,1),B(3,2),C(1,4)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1;
(2)將△A1B1C1沿x軸方向向左平移4個(gè)單位得到△A2B2C2,畫出△A2B2C2并寫出頂點(diǎn)A2,B2,C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,與均為等腰直角三角形,
(1)如圖1,點(diǎn)在上,點(diǎn)與重合,為線段的中點(diǎn),則線段與的數(shù)量關(guān)系是 ,與的位置是 .
(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,其中在一條直線上,為線段的中點(diǎn),則線段與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.
(3)若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度到如圖3的位置,為線段的中點(diǎn),連接、,請你完成圖3,猜想線段與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AB=AC=10,線段BC在軸上,BC=12,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,0),線段AB交y軸于點(diǎn)E,過A作AD⊥BC于D,動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為( , );
(2)當(dāng)△BPE是等腰三角形時(shí),求t的值;
(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí),△ABC以B為位似中心向右放大,且點(diǎn)C向右運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位,△ABC放大的同時(shí)高AD也隨之放大,當(dāng)以EP為直徑的圓與動(dòng)線段AD所在直線相切,求t的值和此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DBE后,再把△ABC沿射線平移至△FEG,DF、FG相交于點(diǎn)H.
(1)判斷線段DE、FG的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)連結(jié)CG,求證:四邊形CBEG是正方形.
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