Question

【題目】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方（a+b）n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”請計(jì)算（a+b）64的展開式中第63項(xiàng)的系數(shù)為_____．

Answer 1

【答案】2016．

【解析】

根據(jù)題意可知：（a+b）64的展開式共有65項(xiàng)，其第63項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)相同，只要根據(jù)圖形中的規(guī)律求出（a+b）64的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)即可．

解：根據(jù)題意可知：（a+b）64的展開式共有65項(xiàng)，其第63項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)相同，

找規(guī)律發(fā)現(xiàn)（a+b）3的第三項(xiàng)系數(shù)為3＝1+2；

（a+b）4的第三項(xiàng)系數(shù)為6＝1+2+3；

（a+b）5的第三項(xiàng)系數(shù)為10＝1+2+3+4；

（a+b）6的第三項(xiàng)系數(shù)為15＝1+2+3+4+5；

……

∴（a+b）n的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），

∴（a+b）64第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+63＝2016，即（a+b）64的展開式中第63項(xiàng)的系數(shù)為2016.

故答案為：2016.